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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] \phi(r):=x^{4}z+8yz^{2}+y^{3} [/mm] in der Nähe des Punktes [mm] r_{0}=(1,0,-1), [/mm] sowie die Niveaufläche [mm] \phi(r)=\phi(r_0)=-1.
[/mm]
(a) Man berechne [mm] \nabla\phi(r_0).
[/mm]
(b) Man ermittle zwei Einheitsvektoren:
(i) einen, der normal zur Niveaufläche bei [mm] r=r_0 [/mm] ist
(ii) einen, der in der Tangentenebene der Niveaufläche bei [mm] r=r_0 [/mm] liegt.
(c) Besitzt [mm] \phi [/mm] Sattelpunkte (bzw. Extremstellen)? Welche Wert besitzt [mm] \phi [/mm] bei diesen. |
Hallo,
ich denke, dass ich (a) und (c) hinbekomme. Ich skizziere mal meine Ansätze: Zu (a): Ich habe [mm] \nabla\phi(\vec{r})=\begin{pmatrix}4x^{3}z\\
8z^{2}+3y^{2}\\
x^{4}+16yz\end{pmatrix}. [/mm] Wenn man [mm] r_0 [/mm] einsetzt ergibt es dann: [mm] \nabla\phi(\vec{r}_{0})=\begin{pmatrix}-4\\
8\\
1\end{pmatrix}.
[/mm]
Soweit richtig?
Zu (c). Einen Sattelpunkt haben wir definiert, als den Punkt, an dem [mm] \phi [/mm] zur ersten Ordnung konstant in allen Richtungen bleibt, also [mm] \nabla\phi(r)=0. [/mm] Dann muss ich eben mein Ergebnis aus (a) =0 setzen und dann jeweils x,y,z ausrechnen.
Bei (b) weiß ich allerdings nicht so genau, was ich machen muss, bzw. wie, zumal ich nicht so genau weiß, warum man das Niveaufläche nennt, wenn man einfach den Punkt [mm] r_0 [/mm] einsetzt. Ich kenne bisher nur Normalenvektoren, d.h. Vektoren die senkrecht zur geforderten Fläche, Kurve... sind. Ist das hier auch mit normal gemeint?
Jetzt habe ich doch aber bei [mm] r=r_0 [/mm] für [mm] \phi [/mm] einen konkreten Wert, also einen Skalar, wie kann ich dazu einen Vektor berechnen.
Das mit der Tangentenebene ist mir ebenso schleierhaft.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Bei (b) weiß ich allerdings nicht so genau, was ich machen
> muss, bzw. wie, zumal ich nicht so genau weiß, warum man
> das Niveaufläche nennt, wenn man einfach den Punkt [mm]r_0[/mm]
So wie ich das lese, ist die Niveaufläche [mm] $A=\{r\ |\ \phi(r)=\phi(r_0)\}$
[/mm]
Du sollst jetzt einen Normalenvektor auf diese Fläche in [mm] $r_0$ [/mm] finden. A ist keine Ebene, d.h. der Normalenvektor hängt von dem [mm] $r\in [/mm] A$ ab, in dem er ansetzt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Unk |
> Hi,
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> > Bei (b) weiß ich allerdings nicht so genau, was ich machen
> > muss, bzw. wie, zumal ich nicht so genau weiß, warum man
> > das Niveaufläche nennt, wenn man einfach den Punkt [mm]r_0[/mm]
>
> So wie ich das lese, ist die Niveaufläche [mm]A=\{r\ |\ \phi(r)=\phi(r_0)\}[/mm]
>
> Du sollst jetzt einen Normalenvektor auf diese Fläche in
> [mm]r_0[/mm] finden. A ist keine Ebene, d.h. der Normalenvektor
> hängt von dem [mm]r\in A[/mm] ab, in dem er ansetzt.
>
> ciao
> Stefan
Ok, es gilt [mm] \phi(r_0)=-1, [/mm] d.h. ich brauche einen Vektor n mit |n|=1, der in A liegt. Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich da drauf kommen soll.
Noch weniger kann ich mir aber erklären, wie der t, der in der Tangentenebene der Niveaufläche bei [mm] r=r_0 [/mm] liegt, berechnet werden soll??
Grüße
Unk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mo 26.04.2010 | | Autor: | chrisno |
Die Niveaufläche verläuft irgendwie gebogen im Raum. Wenn Du einen Normalenvektor afstellen willst, dann ist das ein Normalenvektor auf der jeweiligen Tangentialebene. Was hat die Tangentialebene mit dem Gradienten zu tun?
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