www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gradient & Kettenregel
Gradient & Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gradient & Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 12.06.2014
Autor: Natalie1988

Hallo!

Ich habe eine Funktion $U$ gegeben durch
$U(r) = [mm] -e^{-r}$. [/mm]

$r [mm] \in \IR$ [/mm] ist dabei eine Entfernung zwischen zwei Teilchen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$, [/mm] also $r = [mm] |x_1-x_2|$. [/mm]

Ich habe jetzt ein Verständnisproblem. In einer Formel wird nun nach
[mm] $\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|)$ [/mm]
gefragt.

Ist folgende Überlegung richtig?
Als erstes gilt
[mm] $U(|x_1-x_2|) [/mm] = [mm] -e^{-|x_1-x_2|} [/mm] = [mm] -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)$. [/mm]

Daraus folgt für den Gradienten
[mm] $\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|) [/mm] = [mm] \nabla_{x_1} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)$ [/mm]

$= [mm] \vektor{ \partial_{x_{1,1}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) \\ \vdots \\ \partial_{x_{1,d}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)}$. [/mm]

Die Ableitung von der $j$-ten Zeile des Gradienten wäre (habs mal in Wolframalpha versucht, einzugeben)
[mm] $\partial_{x_{1,j}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) [/mm] = [mm] -\frac{1}{x_{1,j}} \exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)$. [/mm]

Stimmt diese Berechnung des Gradienten? (Mich wundert auf den schnellen Blick nur das [mm] $\frac{1}{x_{1,j}}$, [/mm] ich hätte [mm] $x_{1,j}$ [/mm] im Zähler, aber das muss ich nochmals überprüfen und per Hand ausrechnen).


Ich frage, weil ich mir auch überlegt hatte,
[mm] $\nabla_x [/mm] U(r) = [mm] \nabla_x [/mm] U(|x|)$
zu bilden und dann den jeweiligen Abstand [mm] $|x_1 [/mm] - [mm] x_2|$ [/mm] in $U$ einzusetzen. Ich glaube, es kommt das gleiche hinaus. Wäre dies aber auch rein mathematisch korrekt, und wenn ja, warum?





        
Bezug
Gradient & Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Do 12.06.2014
Autor: MathePower

Hallo Natalie1988,

> Hallo!
>  
> Ich habe eine Funktion [mm]U[/mm] gegeben durch
>  [mm]U(r) = -e^{-r}[/mm].
>
> [mm]r \in \IR[/mm] ist dabei eine Entfernung zwischen zwei Teilchen
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm], also [mm]r = |x_1-x_2|[/mm].
>  
> Ich habe jetzt ein Verständnisproblem. In einer Formel
> wird nun nach
>  [mm]\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|)[/mm]
>  gefragt.
>  
> Ist folgende Überlegung richtig?
>  Als erstes gilt
> [mm]U(|x_1-x_2|) = -e^{-|x_1-x_2|} = -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)[/mm].
>  
> Daraus folgt für den Gradienten
>  [mm]\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|) = \nabla_{x_1} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)[/mm]
>  
> [mm]= \vektor{ \partial_{x_{1,1}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) \\ \vdots \\ \partial_{x_{1,d}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)}[/mm].
>  
> Die Ableitung von der [mm]j[/mm]-ten Zeile des Gradienten wäre
> (habs mal in Wolframalpha versucht, einzugeben)
>  [mm]\partial_{x_{1,j}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) = -\frac{1}{x_{1,j}} \exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)[/mm].
>  
> Stimmt diese Berechnung des Gradienten? (Mich wundert auf
> den schnellen Blick nur das [mm]\frac{1}{x_{1,j}}[/mm], ich hätte
> [mm]x_{1,j}[/mm] im Zähler, aber das muss ich nochmals überprüfen
> und per Hand ausrechnen).
>


Die Berechnung des Gradienten stimmt leider nicht.

Gehe doch stur nach der Kettenregel vor.

Es ist

[mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{dU}{dr}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}}[/mm]


>
> Ich frage, weil ich mir auch überlegt hatte,
> [mm]\nabla_x U(r) = \nabla_x U(|x|)[/mm]
>  zu bilden und dann den
> jeweiligen Abstand [mm]|x_1 - x_2|[/mm] in [mm]U[/mm] einzusetzen. Ich
> glaube, es kommt das gleiche hinaus. Wäre dies aber auch
> rein mathematisch korrekt, und wenn ja, warum?
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Gradient & Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Fr 13.06.2014
Autor: Natalie1988

Mh, ok...
Du hast
$ [mm] \bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{dU}{dr}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} [/mm] $
geschrieben. Warum ändert sich die partielle Ableitung zu einer totalen Ableitung? Geht das einfach so oder muss es
$ [mm] \bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{\partial U}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} [/mm] $
sein? $U$ hängt ja nur von $r$ ab, daher vllt. die totale Ableitung, aber kann man das so leicht ändern, wenns vorher partiell war?

Ansonsten habe ich mal Deinen Vorschlag berechnet. Ich benutze vorerst Deine Notation:

[mm] $\bruch{dU}{dr} [/mm] = [mm] e^{-r}$ [/mm]

und mit $ r = [mm] |x_1 [/mm] - [mm] x_2| [/mm] = [mm] \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}$ [/mm]

[mm] $\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \left( \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}\right)}{\partial x_{1,k}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{2(x_{1,k} - x_{2,k})}{2\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}$. [/mm]

Also folgt

[mm] $\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}} [/mm] = [mm] e^{-r} \cdot \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}$. [/mm]

1) Stimmt das?

Und 2): der Gradient von $U$ wird aber schon mittels

[mm] $\nabla_{x_1} [/mm] U(r) = [mm] \vektor{\bruch{\partial U}{\partial x_{1,1}} \\ \vdots \\ \bruch{\partial U}{\partial x_{1,d}}} [/mm] (r)$

zusammengesetzt, wobei $d$ die Raumdimension ist?

Was war denn bei meiner vorherigen Berechnung falsch?

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Gradient & Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Fr 13.06.2014
Autor: MathePower

Hallo Natalie1988,

> Mh, ok...
>  Du hast
> [mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{dU}{dr}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}}[/mm]
>  
> geschrieben. Warum ändert sich die partielle Ableitung zu
> einer totalen Ableitung? Geht das einfach so oder muss es
>  [mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{\partial U}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}}[/mm]
> sein? [mm]U[/mm] hängt ja nur von [mm]r[/mm] ab, daher vllt. die totale
> Ableitung, aber kann man das so leicht ändern, wenns
> vorher partiell war?
>


Wenn eine Funktion nur von einem Parameter abhängig ist,
wie hier U von r, dann schreibt man ein "d".

Ist die Funktion von mehreren Parametern abhängig,
wie r von [mm]x_{1,j}, \ j =\ 1 \ ... \ d[/mm], dann schreibt man ein "[mm]\partial[/mm]"


> Ansonsten habe ich mal Deinen Vorschlag berechnet. Ich
> benutze vorerst Deine Notation:
>  
> [mm]\bruch{dU}{dr} = e^{-r}[/mm]
>  
> und mit [mm]r = |x_1 - x_2| = \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} = \bruch{\partial \left( \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}\right)}{\partial x_{1,k}} = ... = \bruch{2(x_{1,k} - x_{2,k})}{2\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}} = \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}[/mm].
>  
> Also folgt
>  
> [mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}} = e^{-r} \cdot \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}[/mm].
>  
> 1) Stimmt das?
>  


Ja.


> Und 2): der Gradient von [mm]U[/mm] wird aber schon mittels
>  
> [mm]\nabla_{x_1} U(r) = \vektor{\bruch{\partial U}{\partial x_{1,1}} \\ \vdots \\ \bruch{\partial U}{\partial x_{1,d}}} (r)[/mm]
>  
> zusammengesetzt, wobei [mm]d[/mm] die Raumdimension ist?
>


Klar.


> Was war denn bei meiner vorherigen Berechnung falsch?

>


Kann ich nicht sagen, da ich nicht weiss,
wie die Eingabe in WolframAlpha erfolgte.


> Vielen Dank!

>


Gruss
MathePower  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de