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Hallo!
Ich habe eine Funktion $U$ gegeben durch
$U(r) = [mm] -e^{-r}$. [/mm]
$r [mm] \in \IR$ [/mm] ist dabei eine Entfernung zwischen zwei Teilchen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$, [/mm] also $r = [mm] |x_1-x_2|$.
[/mm]
Ich habe jetzt ein Verständnisproblem. In einer Formel wird nun nach
[mm] $\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|)$
[/mm]
gefragt.
Ist folgende Überlegung richtig?
Als erstes gilt
[mm] $U(|x_1-x_2|) [/mm] = [mm] -e^{-|x_1-x_2|} [/mm] = [mm] -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)$.
[/mm]
Daraus folgt für den Gradienten
[mm] $\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|) [/mm] = [mm] \nabla_{x_1} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)$
[/mm]
$= [mm] \vektor{ \partial_{x_{1,1}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) \\ \vdots \\ \partial_{x_{1,d}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)}$.
[/mm]
Die Ableitung von der $j$-ten Zeile des Gradienten wäre (habs mal in Wolframalpha versucht, einzugeben)
[mm] $\partial_{x_{1,j}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) [/mm] = [mm] -\frac{1}{x_{1,j}} \exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)$.
[/mm]
Stimmt diese Berechnung des Gradienten? (Mich wundert auf den schnellen Blick nur das [mm] $\frac{1}{x_{1,j}}$, [/mm] ich hätte [mm] $x_{1,j}$ [/mm] im Zähler, aber das muss ich nochmals überprüfen und per Hand ausrechnen).
Ich frage, weil ich mir auch überlegt hatte,
[mm] $\nabla_x [/mm] U(r) = [mm] \nabla_x [/mm] U(|x|)$
zu bilden und dann den jeweiligen Abstand [mm] $|x_1 [/mm] - [mm] x_2|$ [/mm] in $U$ einzusetzen. Ich glaube, es kommt das gleiche hinaus. Wäre dies aber auch rein mathematisch korrekt, und wenn ja, warum?
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Hallo Natalie1988,
> Hallo!
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> Ich habe eine Funktion [mm]U[/mm] gegeben durch
> [mm]U(r) = -e^{-r}[/mm].
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> [mm]r \in \IR[/mm] ist dabei eine Entfernung zwischen zwei Teilchen
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm], also [mm]r = |x_1-x_2|[/mm].
>
> Ich habe jetzt ein Verständnisproblem. In einer Formel
> wird nun nach
> [mm]\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|)[/mm]
> gefragt.
>
> Ist folgende Überlegung richtig?
> Als erstes gilt
> [mm]U(|x_1-x_2|) = -e^{-|x_1-x_2|} = -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)[/mm].
>
> Daraus folgt für den Gradienten
> [mm]\nabla_{x_1} U(|x_1-x_2|) = \nabla_{x_1} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)[/mm]
>
> [mm]= \vektor{ \partial_{x_{1,1}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) \\ \vdots \\ \partial_{x_{1,d}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right)}[/mm].
>
> Die Ableitung von der [mm]j[/mm]-ten Zeile des Gradienten wäre
> (habs mal in Wolframalpha versucht, einzugeben)
> [mm]\partial_{x_{1,j}} \left( -\exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right) \right) = -\frac{1}{x_{1,j}} \exp \left( -\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j}-x_{2,j})^2 } \right)[/mm].
>
> Stimmt diese Berechnung des Gradienten? (Mich wundert auf
> den schnellen Blick nur das [mm]\frac{1}{x_{1,j}}[/mm], ich hätte
> [mm]x_{1,j}[/mm] im Zähler, aber das muss ich nochmals überprüfen
> und per Hand ausrechnen).
>
Die Berechnung des Gradienten stimmt leider nicht.
Gehe doch stur nach der Kettenregel vor.
Es ist
[mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{dU}{dr}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}}[/mm]
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> Ich frage, weil ich mir auch überlegt hatte,
> [mm]\nabla_x U(r) = \nabla_x U(|x|)[/mm]
> zu bilden und dann den
> jeweiligen Abstand [mm]|x_1 - x_2|[/mm] in [mm]U[/mm] einzusetzen. Ich
> glaube, es kommt das gleiche hinaus. Wäre dies aber auch
> rein mathematisch korrekt, und wenn ja, warum?
>
Gruss
MathePower
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Mh, ok...
Du hast
$ [mm] \bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{dU}{dr}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} [/mm] $
geschrieben. Warum ändert sich die partielle Ableitung zu einer totalen Ableitung? Geht das einfach so oder muss es
$ [mm] \bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{\partial U}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} [/mm] $
sein? $U$ hängt ja nur von $r$ ab, daher vllt. die totale Ableitung, aber kann man das so leicht ändern, wenns vorher partiell war?
Ansonsten habe ich mal Deinen Vorschlag berechnet. Ich benutze vorerst Deine Notation:
[mm] $\bruch{dU}{dr} [/mm] = [mm] e^{-r}$
[/mm]
und mit $ r = [mm] |x_1 [/mm] - [mm] x_2| [/mm] = [mm] \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \left( \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}\right)}{\partial x_{1,k}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{2(x_{1,k} - x_{2,k})}{2\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}$.
[/mm]
Also folgt
[mm] $\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}} [/mm] = [mm] e^{-r} \cdot \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}$.
[/mm]
1) Stimmt das?
Und 2): der Gradient von $U$ wird aber schon mittels
[mm] $\nabla_{x_1} [/mm] U(r) = [mm] \vektor{\bruch{\partial U}{\partial x_{1,1}} \\ \vdots \\ \bruch{\partial U}{\partial x_{1,d}}} [/mm] (r)$
zusammengesetzt, wobei $d$ die Raumdimension ist?
Was war denn bei meiner vorherigen Berechnung falsch?
Vielen Dank!
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Hallo Natalie1988,
> Mh, ok...
> Du hast
> [mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{dU}{dr}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}}[/mm]
>
> geschrieben. Warum ändert sich die partielle Ableitung zu
> einer totalen Ableitung? Geht das einfach so oder muss es
> [mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}}=\bruch{\partial U}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}}[/mm]
> sein? [mm]U[/mm] hängt ja nur von [mm]r[/mm] ab, daher vllt. die totale
> Ableitung, aber kann man das so leicht ändern, wenns
> vorher partiell war?
>
Wenn eine Funktion nur von einem Parameter abhängig ist,
wie hier U von r, dann schreibt man ein "d".
Ist die Funktion von mehreren Parametern abhängig,
wie r von [mm]x_{1,j}, \ j =\ 1 \ ... \ d[/mm], dann schreibt man ein "[mm]\partial[/mm]"
> Ansonsten habe ich mal Deinen Vorschlag berechnet. Ich
> benutze vorerst Deine Notation:
>
> [mm]\bruch{dU}{dr} = e^{-r}[/mm]
>
> und mit [mm]r = |x_1 - x_2| = \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial x_{1,k}} = \bruch{\partial \left( \wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}\right)}{\partial x_{1,k}} = ... = \bruch{2(x_{1,k} - x_{2,k})}{2\wurzel{\sum_{j=1}^d (x_{1,j} - x_{2,j})^2}} = \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}[/mm].
>
> Also folgt
>
> [mm]\bruch{\partial U}{\partial x_{1,k}} = e^{-r} \cdot \bruch{x_{1,k} - x_{2,k}}{r}[/mm].
>
> 1) Stimmt das?
>
Ja.
> Und 2): der Gradient von [mm]U[/mm] wird aber schon mittels
>
> [mm]\nabla_{x_1} U(r) = \vektor{\bruch{\partial U}{\partial x_{1,1}} \\ \vdots \\ \bruch{\partial U}{\partial x_{1,d}}} (r)[/mm]
>
> zusammengesetzt, wobei [mm]d[/mm] die Raumdimension ist?
>
Klar.
> Was war denn bei meiner vorherigen Berechnung falsch?
>
Kann ich nicht sagen, da ich nicht weiss,
wie die Eingabe in WolframAlpha erfolgte.
> Vielen Dank!
>
Gruss
MathePower
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