Gradient bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 22.06.2010 | | Autor: | oby |
Hallo und guten Abend matheraum,
hocke hier an ner Projektarbeit und komme nun nicht weiter (*kopf zerbrech*) weil ich dazu den Gradient folgender Funktion brauchen würde:
[mm] f:=\IR^n\to\IR [/mm] , [mm] f(z)=\bruch{1}{2} \parallel [/mm] F(z) [mm] \parallel_2^2 [/mm] .
Dabei ist
F: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] und [mm] F'(z)\in\IR^{n\times n} [/mm] gegeben.
Also hab mal f umgeschrieben zu
[mm] f(z)=\bruch{1}{2} F(z)^T [/mm] F(z).
Mein Problem ist nun, dass ich hier doch nicht einfach eine Art Kettenregel anwenden kann, und erst nach erster Komponente, dann nach zweiter Komponente von z, usw. ableiten geht ja hier auch nicht.
Hoffe, jemand von euch kann mir da helfen.
Vielen Dank schonmal!
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Huhu,
letztlich ist es doch aber genau so, denn:
$ [mm] f(z)=\bruch{1}{2}\,{{||F(z)||}_2}^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} F_i^2(z)\right)$
[/mm]
Jedes [mm] F_i [/mm] ist dabei ja eine Abbildung von [mm] $\IR^n \to \IR, [/mm] so dass sich ergibt:
[mm] $\partial_{x_j}f(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\partial_{x_j}F_i^2(z)\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}2F_i(z)*\partial_{x_j}F(z)\right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}F_i(z)*\partial_{x_j}F(z)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mi 23.06.2010 | | Autor: | oby |
Ah, alles klar! Du hast recht. Vielen vielen Dank Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 23.06.2010 | | Autor: | oby |
Hallo nochmal,
also jetzt bin ich mir doch unsicher geworden. Deshalb frag ich lieber nochmal nach, hab also jetzt zusammenfassend rausgefunden, dass
[mm] $\nabla [/mm] f (x) = F'(x)*F(x) $ ist.
Ist das nun richtig???
MfG oby
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> Hallo nochmal,
> also jetzt bin ich mir doch unsicher geworden. Deshalb
> frag ich lieber nochmal nach, hab also jetzt
> zusammenfassend rausgefunden, dass
> [mm]\nabla f (x) = F'(x)*F(x)[/mm] ist.
> Ist das nun richtig???
> MfG oby
Erstmal ist mir eben aufgefallen, dass ich Indizes vergessen hab bei meiner vorigen Antwort. Es muss nämlich korrekterweise heissen:
Es gilt: $ [mm] \partial_{x_j}f(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\partial_{x_j}F_i^2(z)\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}2F_i(z)\cdot{}\partial_{x_j}F_i(z)\right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}F_i(z)\cdot{}\partial_{x_j}F_i(z) [/mm] $
Und damit eingesetzt:
[mm]\nabla f (x) = \vektor{\partial_{x_1}f \\ \vdots \\ \partial_{x_n}f}= \vektor{\sum_{i=1}^{n}F_i(x)\cdot{}\partial_{x_1}F_i(x) \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n}F_i(x)\cdot{}\partial_{x_n}F_i(x) } = \pmat{ \partial_{x_1}F_1(x) & \ldots & \partial_{x_1}F_n(x)\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \partial_{x_n}F_1(x) & \ldots & \partial_{x_n}F_n(x)}*\vektor{F_1(x) \\ \vdots \\ F_n(x)} = \left(F'(x)\right)^T * F(x)[/mm]
Also nein, deins stimmt nicht 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Do 24.06.2010 | | Autor: | oby |
Ah ja, super, danke nochmal!
Jetzt haut auch alles bei mir hin! Mit dem Transponieren, das vergesse ich öfters mal ;) Bin schon immer froh wenn sich das ganze Multiplizieren lässt. (Und bei quadratischen Matrizen, wie hier das $ F'(x) $ sollte ich dann immer mal genauer hingucken ;) ).
MfG, Oby
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