Gradienten/Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 19.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Guten Tag.Bei folgender Aufgabe braüchte ich eure Hilfe.
Aufgabe:
Betrachten Sie die Funktion u: [mm] \IR^d \to \IR [/mm] mit
[mm] u(x_1,...,x_d)=\summe_{k=1}^{d}a_k{x_k}^{n}
[/mm]
mit Koeffizienten [mm] a_k \in \IR [/mm] \ {0} und n [mm] \in \IN. [/mm] Bestimmen Sie den Gradineten von u und ie Hessematrix [mm] H_u.Bestimmen [/mm] Sie ferner in Abhängigkeit von n und den Koeffizienten [mm] a_k [/mm] die stationären Punkte und entscheiden sie in Abhängigkeit von n und [mm] a_k, [/mm] ob es sich um Extrema oder Sattelpunkte handelt.Beachte sie hierbei , dass die hinreichende Bedingung für Extremwerte aus der Vorlesung hier nicht für alle n benüztbar ist. |
)Mein Lösungsansatz:
Es hapert schon gleich bei der Bestimmung des Gradienten von u:
grad u [mm] (x_1,..x_d)=\vektor{na_1{x_1 }^{n-1}\\ na_2{x_2 }^{n-1}\\...\\na_d{x_d }^{n-1}}
[/mm]
Hessematrix:
[mm] H_u=\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_i \delta x_j } =\pmat{ \bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_1 \delta x_1}& \bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_1 \delta x_2 }&...&\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_1 \delta x_n} \\ ...\\ \bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_2 \delta x_n }&\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_n \delta x_1} &...&\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_n \delta x_n }}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] u(x_1,...,x_d)=\summe_{k=1}^{d}a_k{x_k}^{n}
[/mm]
[mm] u_x_1 =na_1*{x_1}^{n-1} [/mm]
[mm] u_x_2=na_2*{x_2}^{n-1}
[/mm]
[mm] u_x_d=na_d*{x_d}^{n-1}
[/mm]
[mm] u_x_1x_1=(n-1)a_1*{x_1}^{n-2}
[/mm]
[mm] u_x_2x_2=(n-1)a_2*{x_2}^{n-2}
[/mm]
[mm] u_x_dx_d=(n-1)a_d*{x_d}^{n-2}
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher ob die Ableitungen korrekt sind.
Stationäre Punkte
grad [mm] (u)=0=\vektor{na_1{x_1 }^{n-1}\\ na_2{x_2 }^{n-1}\\...\\na_d{x_d }^{n-1}} [/mm] <=> [mm] x_k=0 [/mm] oder [mm] a_k [/mm] =0
Dann müsste ich die Determinate ausrechnen und schauen ob diese:
1.det [mm] H_f [/mm] <0 => Sattelpunkt
2.det [mm] H_f [/mm] >0 => Extremum
Ich hab aber Probleme damit den Gradienten und die Hessemmatrix zu bestimmen
Danke für eure Hilfe
matheja
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Hallo matheja,
> Guten Tag.Bei folgender Aufgabe braüchte ich eure Hilfe.
>
> Aufgabe:
> Betrachten Sie die Funktion u: [mm]\IR^d \to \IR[/mm] mit
> [mm]u(x_1,...,x_d)=\summe_{k=1}^{d}a_k{x_k}^{n}[/mm]
> mit Koeffizienten [mm]a_k \in \IR[/mm] \ {0} und n [mm]\in \IN.[/mm]
> Bestimmen Sie den Gradineten von u und ie Hessematrix
> [mm]H_u.Bestimmen[/mm] Sie ferner in Abhängigkeit von n und den
> Koeffizienten [mm]a_k[/mm] die stationären Punkte und entscheiden
> sie in Abhängigkeit von n und [mm]a_k,[/mm] ob es sich um Extrema
> oder Sattelpunkte handelt.Beachte sie hierbei , dass die
> hinreichende Bedingung für Extremwerte aus der Vorlesung
> hier nicht für alle n benüztbar ist.
> )Mein Lösungsansatz:
> Es hapert schon gleich bei der Bestimmung des Gradienten
> von u:
> grad u [mm](x_1,..x_d)=\vektor{na_1{x_1 }^{n-1}\\ na_2{x_2 }^{n-1}\\...\\na_d{x_d }^{n-1}}[/mm]
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Auch der Gradient gilt nur für [mm]n\ge1[/mm].
Da aber [mm]n \in \IN[/mm] gilt das für alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Hessematrix:
> [mm]H_u=\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_i \delta x_j } =\pmat{ \bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_1 \delta x_1}& \bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_1 \delta x_2 }&...&\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_1 \delta x_n} \\ ...\\ \bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_2 \delta x_n }&\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_n \delta x_1} &...&\bruch{{\delta}^{2}}{\delta x_n \delta x_n }}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
> [mm]u(x_1,...,x_d)=\summe_{k=1}^{d}a_k{x_k}^{n}[/mm]
> [mm]u_x_1 =na_1*{x_1}^{n-1}[/mm]
> [mm]u_x_2=na_2*{x_2}^{n-1}[/mm]
> [mm]u_x_d=na_d*{x_d}^{n-1}[/mm]
> [mm]u_x_1x_1=(n-1)a_1*{x_1}^{n-2}[/mm]
> [mm]u_x_2x_2=(n-1)a_2*{x_2}^{n-2}[/mm]
> [mm]u_x_dx_d=(n-1)a_d*{x_d}^{n-2}[/mm]
Hier ist der Faktor n verlorengegangen:
[mm]u_{x_ {k}x_{k}}=\left(n-1}\right)\red{*n*}a_{k}*{x_{k}}^{ n-2}, \ k=1, \ \dots \ , d [/mm]
Dies gilt natürlich nur, wenn [mm]n\ge2[/mm] ist.
> Ich bin mir nicht sicher ob die Ableitungen korrekt sind.
>
> Stationäre Punkte
> grad [mm](u)=0=\vektor{na_1{x_1 }^{n-1}\\ na_2{x_2 }^{n-1}\\...\\na_d{x_d }^{n-1}}[/mm]
> <=> [mm]x_k=0[/mm] oder [mm]a_k[/mm] =0
Und da [mm]a_{k} \not= 0[/mm] bleibt nur [mm]x_{k}=0[/mm] für [mm]n>1[/mm].
>
> Dann müsste ich die Determinate ausrechnen und schauen ob
> diese:
> 1.det [mm]H_f[/mm] <0 => Sattelpunkt
> 2.det [mm]H_f[/mm] >0 => Extremum
> Ich hab aber Probleme damit den Gradienten und die
> Hessemmatrix zu bestimmen
Den Gradienten hast ja schon ausgerechnet.
Bleibt also nur noch die Hessematrix.
Die Hessematrix ist hier eine Diagonalmatrix.
Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt musst Du hier eine
Fallunterscheidung hinsichtlich n machen.
Je nach n sieht die Hessematrix unterschiedlich aus.
>
> Danke für eure Hilfe
>
> matheja
>
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Sa 19.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Danke Mathepower für die schnelle Antwort. |
> Den Gradienten hast ja schon ausgerechnet.
> Bleibt also nur noch die Hessematrix.
>
> Die Hessematrix ist hier eine Diagonalmatrix.
>
> Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt musst Du hier
> eine
> Fallunterscheidung hinsichtlich n machen.
>
> Je nach n sieht die Hessematrix unterschiedlich aus.
> Gruß
> MathePower
für n=0 [mm] =>det(H_u)=0 [/mm] => Sattelpunkt?
für n>0=> [mm] det(H_u)>=0 [/mm] =>Extremum?
Gruß
matheja
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Hallo matheja,
> Danke Mathepower für die schnelle Antwort.
> > Den Gradienten hast ja schon ausgerechnet.
> > Bleibt also nur noch die Hessematrix.
> >
> > Die Hessematrix ist hier eine Diagonalmatrix.
> >
> > Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt musst Du hier
> > eine
> > Fallunterscheidung hinsichtlich n machen.
> >
> > Je nach n sieht die Hessematrix unterschiedlich aus.
>
> > Gruß
> > MathePower
>
> für n=0 [mm]=>det(H_u)=0[/mm] => Sattelpunkt?
Den Fall n=0 hast Du hier nicht zu betrachten, da [mm]n \in \IN=\left\{1, \ 2, \ \dots \right\}[/mm]
> für n>0=> [mm]det(H_u)>=0[/mm] =>Extremum?
Hier hast Du eine Fallunterscheidung zu machen:
Gibt es für n=1 Kandidaten für stationäre Punkte?
Für n>1 sind die Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] mit zu betrachten.
>
> Gruß
>
> matheja
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 19.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Danke Mathepower! |
[mm] u(x_1,..x_d)=\vektor{na_1{x_1 }^{n-1}\\ na_2{x_2 }^{n-1}\\...\\na_d{x_d }^{n-1}} [/mm]
grad (u)=0 (notwendige Bedingung)
für n=1 ist diese Bedingung nicht erfüllt da [mm] u_x1(x_1,..x_d)=1a_1x^{0}=a_1 [/mm] mit [mm] a_1 \ne [/mm] 0 für k=2 gilt das gleiche
für n>1 erhalte ich positive Werte mit einer psitiven Determinate => Es müsste also dann Extremum sein?
Gruß
matheja
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Hallo matheja,
> Danke Mathepower!
> [mm]u(x_1,..x_d)=\vektor{na_1{x_1 }^{n-1}\\ na_2{x_2 }^{n-1}\\...\\na_d{x_d }^{n-1}}[/mm]
>
> grad (u)=0 (notwendige Bedingung)
>
> für n=1 ist diese Bedingung nicht erfüllt da
> [mm]u_x1(x_1,..x_d)=1a_1x^{0}=a_1[/mm] mit [mm]a_1 \ne[/mm] 0 für k=2 gilt
Ja, für n=1 gibt es keine stationären Punkte.
> das gleiche
> für n>1 erhalte ich positive Werte mit einer psitiven
> Determinate => Es müsste also dann Extremum sein?
Es sind hier Fälle n=2 und n>2 zu unterscheiden.
Für den Fall n=2 musst Du das Produkt [mm]a_{1} * \ \dots \ * a_{d}[/mm] betrachten.
Für n>2 ist der Fall klar.
>
> Gruß
>
> matheja
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Sa 19.04.2008 | | Autor: | matheja |
Nochmals Danke Mathepower für deine Geduld und Hilfe :)
gruß
matheja
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Für [mm]n \ge 2[/mm] erhalte ich wegen
[mm]
u_x_k = n * a_k * x_k^(n-2) = 0
[/mm]
als einzige stationäre Stelle [mm] P = (0,...,0)[/mm] richtig?
Für [mm] n > 2[/mm] ist nun [mm] det(H_u(0,...,0)) = 0 [/mm], richtig? Aber was sagt mir das?
Für [mm] n = 2[/mm] ist [mm]det(H_u(0,...,0)) = a_1 * a_2 * a_d[/mm]
Ist die Hesse-Matrix eine 2x2 Matrix, dann weiß ich, dass wenn det(A) > 0 und Eintrag 1,1> 0, A positiv definit ist und ein Minimun vorliegt. Wie übertrage ich dies aber auf nxn-Matrizen?
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Hallo katerkarlo,
> Für [mm]n \ge 2[/mm] erhalte ich wegen
> [mm]
u_x_k = n * a_k * x_k^(n-2) = 0
[/mm]
> als einzige stationäre Stelle [mm]P = (0,...,0)[/mm] richtig?
Ja.
>
> Für [mm]n > 2[/mm] ist nun [mm]det(H_u(0,...,0)) = 0 [/mm], richtig? Aber was
> sagt mir das?
Es liegt wohl ein Extremum vor, aber welcher Art dies ist, kann nicht entschieden werden.
![[]](/images/popup.gif) Mehrdimensionaler Fall
> Für [mm]n = 2[/mm] ist [mm]det(H_u(0,...,0)) = a_1 * a_2 * a_d[/mm]
Jetzt kommt es darauf an, ob die [mm]a_{k}, \ 1 \le k \le d[/mm] alle ein Vorzeichen haben oder unterschiedliche Vorzeichen.
Damit charakterisierst Du die Art des Extremums.
>
> Ist die Hesse-Matrix eine 2x2 Matrix, dann weiß ich, dass
> wenn det(A) > 0 und Eintrag 1,1> 0, A positiv definit ist
> und ein Minimun vorliegt. Wie übertrage ich dies aber auf
> nxn-Matrizen?
Siehe: Hesse-Matrix
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 So 20.04.2008 | | Autor: | katerkarlo |
Ist ein wenig traurig, dass ein paar Seiten Foren und Wikipedia mehr Klarheit bringen als 4 Stunden Vorlesung, aber das ist ein anderes Thema...
Mit dem Board werde ich auf jeden Fall den Stoff verstehen.
Ich habe die (In)Definitheit nun über Eigenwerte bestimmt, was ja in diesem Fall dasselbe ist.
Den Fall n>2 habe ich als ungeklärt stehen lassen.
Danke MP!
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