Gradienten/Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei [mm]g(x,y,z)=2x^{2}+3y+4z[/mm]
a) Berechnen Sie den Gradienten [mm]\nabla g(1,1,2)[/mm]
b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung bezüglich des Richtungsvektors [mm]v=\frac{1}{5}(3,4,0)[/mm] an der Stelle xo=(1,1,1) |
Hallo, ich rechne im Moment Dinge für die anstehende Klausur nach und bin da jetzt auf den Gradiente gestoßen, kann damit aber nicht viel anfangen. Was er ist (intuitiv) ist mir klar aber die Berechnung verstehe ich nicht.
Nehmen wir folgende Funktion an: [mm]g(x,y,z)=2x^{2}+3y+4z[/mm]
a)
Hier im Forum habe ich gelesen, dass der Gradient ein Vektor mit den partiellen Ableitungen der Funktion als Komponenten ist.
Wäre das hier dann: [mm]grad\, g(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}
4x\\
3\\
4\end{array}\right)[/mm] ? Was hat es mit [mm]\nabla g(1,1,2)[/mm] auf sich?
b) Wenn ich jetzt die Richtungsableitung berechnen möchte soll es ja zwei Wege geben:
1. Über den Gradienten (ich denke das sollte ich hier machen aber ka wie)
2. Über die Definition
2. müsste so aussehen oder:
[mm]g_{v}(x,y,z)=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(x+\frac{3}{5}e)^{2}+3(y+\frac{4}{5}e)+4(z+\frac{0}{5}e)-(2x^{2}+3y+4z)}{e}[/mm]
Hier setze ich jetzt die Werte an der Stelle x0=(1,1,1) ein:
[mm]g_{v}(x,y,z)=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(1+\frac{3}{5}e)^{2}+3(1+\frac{4}{5}e)+4(1+\frac{0}{5}e)-(2+3+4)}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(1+\frac{3}{5}e)^{2}+3(1+\frac{4}{5}e)-5}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(1+\frac{39}{25}e)-2+\frac{12}{5}e}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2+\frac{78}{25}e-2+\frac{12}{5}e}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{78}{25}e+\frac{60}{25}e}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{138}{25}}{1}=\frac{138}{25}[/mm]
Ist das so korrekt? Wie geht das über den Gradienten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo TimTimTim,
ja, der Gradient ist ein Vektor, der aus dem Skalar durch Ableitung nach den einzelnen Komponenten bestimmt wird. Den Gradienten hast Du richtig berechnet, das umgedrehte Delta ist ein Nabla und wird als mathematisches Symbol für den Gradienten benutzt.
Der Gradient gibt Dir an einem Punkt die Richtung der stärksten Werteänderung des Skalars an. Für eine Richtungsableitung in Richtung eines anderen Vektors langt es dann, das Skalarprodukt dieses Richtungsvektors mit dem Gradienten zu bestimmen. Eine recht gute Erklärung findest Du auch in Wikipedia unter "Gradient".
Viel Erfolg,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> [mm]g_{v}(x,y,z)=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(1+\frac{3}{5}e)^{2}+3(1+\frac{4}{5}e)+4(1+\frac{0}{5}e)-(2+3+4)}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(1+\frac{3}{5}e)^{2}+3(1+\frac{4}{5}e)-5}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2(1+\frac{39}{25}e)-2+\frac{12}{5}e}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{2+\frac{78}{25}e-2+\frac{12}{5}e}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{78}{25}e+\frac{60}{25}e}{e}=\underset{e\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{138}{25}}{1}=\frac{138}{25}[/mm]
>
> Ist das so korrekt? ...
Im Prinzip Ja, aber mit Rechenfehler !
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Ciao Calli
|
|
|
|
