Gradientenfeld, Wegintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Betrachte die Funktion F : [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3
[/mm]
F(x,y,z)= [mm] \vektor{2xy \\ x^2 + 2zy \\ y^2}
[/mm]
1) Gibt es eine Funktion [mm] \phi: \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit F= [mm] \Delta \phi [/mm] ?
2)Sei [mm] \gamma(t) [/mm] : [0, [mm] 2\pi] [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] der Werg t -> (t(t- [mm] 2\pi), [/mm] sin t , cos t) berechne das Wegintegral [mm] \int_\gamma [/mm] F.ds. |
1)Hier müsste man eigentlich nur zeige dass die Integrabilitätbedingung erfüllt ist oder?Oder muss man auh zeigen, dass [mm] \IR^3 [/mm] einfachzusammenhängend ist oder wie?
Ich habe trotzdem das potential ausgerechnet, wäre toll wenn das wer kontrollieren könnte..(weil ich denke so ist das beispiel sicher gelöst, denn ich habe slch ein Potential gefunden, also existiert auch eins)
F(x,y,z) = ( [mm] \phi_x [/mm] , [mm] \phi_y [/mm] , [mm] \phi_z)
[/mm]
[mm] \phi_x [/mm] = 2xy
[mm] \int \phi_x [/mm] dx = [mm] \int [/mm] 2xy dx = [mm] x^2 [/mm] y + [mm] \psi(y,z)
[/mm]
[mm] \phi_y [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2zy = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \psi_y [/mm] (y,z)
[mm] x^2 [/mm] y + [mm] zy^2 [/mm] + w(z) = [mm] x^2 [/mm] y + [mm] \psi(y,z)
[/mm]
<=> [mm] zy^2 [/mm] + w(z)= [mm] \psi [/mm] (y,z)
[mm] \phi_z [/mm] = z [mm] y^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + [mm] w_z [/mm] (z)
[mm] \int [/mm] z [mm] y^2 [/mm] dz = [mm] \int y^2 [/mm] + [mm] w_z [/mm] (z) dz
[mm] \frac{z^2 y^2}{2} [/mm] + c = [mm] y^2 [/mm] z + w(z)
<=> w(z)= [mm] \frac{z^2y^2}{2} [/mm] - [mm] y^2 [/mm] z
[mm] \phi= [/mm] ( [mm] x^2 [/mm] y + z [mm] y^2 [/mm] + [mm] \frac{z^2 y^2}{2} [/mm] - [mm] y^2 [/mm] z )
[mm] 2)\int_\gamma [/mm] F.ds = [mm] \int_0^{2\pi} F(\gamma(t)). \gamma'(t) [/mm] dt = [mm] \phi(\gamma(2t)) [/mm] - [mm] \phi(\gamma(0))=0
[/mm]
Ich wollte das Potetial gleich ausnützen, Da F ein Gradentenfeld ist , ist es wegunabhängig, also nur von Afangs und Endpunkt abhängig.
Doch da kommt 0 raus, was für mich meist ein zeichen einer fehlers ist^^
LG
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Hallo quasimo,
> Betrachte die Funktion F : [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm]
> F(x,y,z)= [mm]\vektor{2xy \\ x^2 + 2zy \\ zy^2}[/mm]
> 1) Gibt es
> eine Funktion [mm]\phi: \IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit F= [mm]\Delta \phi[/mm] ?
> 2)Sei [mm]\gamma(t)[/mm] : [0, [mm]2\pi][/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] der Werg t -> (t(t-
> [mm]2\pi),[/mm] sin t , cos t) berechne das Wegintegral [mm]\int_\gamma[/mm]
> F.ds.
> 1)Hier müsste man eigentlich nur zeige dass die
> Integrabilitätbedingung erfüllt ist oder?Oder muss man
> auh zeigen, dass [mm]\IR^3[/mm] einfachzusammenhängend ist oder
> wie?
>
Hier muss man zeigen, daß das Vektorfeld wirbelfrei ist,
d.h. die Rotation in dem oben genannten Gebiet verschwindet.
> Ich habe trotzdem das potential ausgerechnet, wäre toll
> wenn das wer kontrollieren könnte..(weil ich denke so ist
> das beispiel sicher gelöst, denn ich habe slch ein
> Potential gefunden, also existiert auch eins)
> F(x,y,z) = ( [mm]\phi_x[/mm] , [mm]\phi_y[/mm] , [mm]\phi_z)[/mm]
> [mm]\phi_x[/mm] = 2xy
> [mm]\int \phi_x[/mm] dx = [mm]\int[/mm] 2xy dx = [mm]x^2[/mm] y + [mm]\psi(y,z)[/mm]
>
> [mm]\phi_y[/mm] = [mm]x^2[/mm] + 2zy = [mm]x^2[/mm] + [mm]\psi_y[/mm] (y,z)
> [mm]x^2[/mm] y + [mm]zy^2[/mm] + w(z) = [mm]x^2[/mm] y + [mm]\psi(y,z)[/mm]
> <=> [mm]zy^2[/mm] + w(z)= [mm]\psi[/mm] (y,z)
>
> [mm]\phi_z[/mm] = z [mm]y^2[/mm] = [mm]y^2[/mm] + [mm]w_z[/mm] (z)
> [mm]\int[/mm] z [mm]y^2[/mm] dz = [mm]\int y^2[/mm] + [mm]w_z[/mm] (z) dz
> [mm]\frac{z^2 y^2}{2}[/mm] + c = [mm]y^2[/mm] z + w(z)
> <=> w(z)= [mm]\frac{z^2y^2}{2}[/mm] - [mm]y^2[/mm] z
>
> [mm]\phi=[/mm] ( [mm]x^2[/mm] y + z [mm]y^2[/mm] + [mm]\frac{z^2 y^2}{2}[/mm] - [mm]y^2[/mm] z )
>
> [mm]2)\int_\gamma[/mm] F.ds = [mm]\int_0^{2\pi} F(\gamma(t)). \gamma'(t)[/mm]
> dt = [mm]\phi(\gamma(2t))[/mm] - [mm]\phi(\gamma(0))=0[/mm]
> Ich wollte das Potetial gleich ausnützen, Da F ein
> Gradentenfeld ist , ist es wegunabhängig, also nur von
> Afangs und Endpunkt abhängig.
> Doch da kommt 0 raus, was für mich meist ein zeichen
> einer fehlers ist^^
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich hab die Angabe auch falsch abgeschrieben.
Also von vorne, sry ;)
Angabe:
Betrachte die Funktion F : $ [mm] \IR^3 [/mm] $ -> $ [mm] \IR^3 [/mm] $
> F(x,y,z)= $ [mm] \vektor{2xy \\ x^2 + 2zy \\ y^2} [/mm] $
> 1) Gibt es
> eine Funktion $ [mm] \phi: \IR^3 [/mm] $ -> $ [mm] \IR [/mm] $ mit F= $ [mm] \Delta \phi [/mm] $ ?
> 2)Sei $ [mm] \gamma(t) [/mm] $ : [0, $ [mm] 2\pi] [/mm] $ -> $ [mm] \IR^3 [/mm] $ der Weg t -> (t(t- $ [mm] 2\pi), [/mm] $ sin t , cos t) berechne das Wegintegral
> [mm] \int_\gamma [/mm] F.ds.
Zu 1)
rot F = [mm] \nabla \times [/mm] F = [mm] \pmat{ \partial_y F_z - \partial_z F_y\\ \partial_z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_x F_x } [/mm] = [mm] \vektor{2y - 2y \\ 0 \\ 2x-2x}=\overrightarrow{0}
[/mm]
D.h. die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt (rot F=0). Also ist F eine Gradientenfeld.
FRAGE!: Wir haben den beweis nur unter der Vorrausetzung gemacht, dass U im [mm] \IR^n [/mm] ein Gebiet ist für jeden in U verlaufenden, stetig, diffbaren Weg [mm] \gamma. [/mm] Muss man das nicht zeigen?Und wenn was genau?
F = [mm] \nabla \phi
[/mm]
F(x,y,z)= [mm] (\phi_x [/mm] , [mm] \phi_y [/mm] , [mm] \phi_z)
[/mm]
[mm] \phi_x [/mm] = 2xy
[mm] \int \phi_x [/mm] = [mm] \int [/mm] 2xy dx= [mm] x^2 [/mm] y + [mm] \psi [/mm] (y,z)
[mm] \phi_y [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2zy= [mm] x^2 [/mm] + [mm] \psi_y [/mm] (y,z)
[mm] \int x^2 [/mm] + 2zy dy = [mm] \int x^2 [/mm] + [mm] \psi_y [/mm] (y,z)
[mm] x^2 [/mm] y + [mm] zy^2 [/mm] + w(z) = x^^y + [mm] \psi(y,z)
[/mm]
[mm] zy^2 [/mm] + w(z)= [mm] \psi [/mm] (y,z)
[mm] \phi_z [/mm] = [mm] y^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + [mm] w_z [/mm] (z)
[mm] \int y^2 [/mm] dz = [mm] \int y^2 [/mm] + [mm] w_z [/mm] (z) dz
[mm] y^2 [/mm] z + c= [mm] y^2 [/mm] z + w(z)
[mm] \phi=(x^2 [/mm] y + z [mm] y^2 [/mm] +c)
Das potential müsste stimmen ergibt eine probe.
$ [mm] 2)\int_\gamma [/mm] $ F.ds = $ [mm] \int_0^{2\pi} F(\gamma(t)). \gamma'(t) [/mm] $ dt = $ [mm] \phi(\gamma(2 \pi)) [/mm] $ - $ [mm] \phi(\gamma(0))=\phi( \vektor{0 \\0\\1}$ [/mm] - [mm] \phi( \vektor{0 \\0\\1}
[/mm]
Da hab ich noch immer 0..
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Hallo quasimo,
> Ich hab die Angabe auch falsch abgeschrieben.
> Also von vorne, sry ;)
>
> Angabe:
> Betrachte die Funktion F : [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm]
> > F(x,y,z)= [mm]\vektor{2xy \\ x^2 + 2zy \\ y^2}[/mm]
> > 1) Gibt
> es
> > eine Funktion [mm]\phi: \IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit F= [mm]\Delta \phi[/mm] ?
> > 2)Sei [mm]\gamma(t)[/mm] : [0, [mm]2\pi][/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] der Weg t -> (t(t-
> [mm]2\pi),[/mm] sin t , cos t) berechne das Wegintegral
> > [mm]\int_\gamma[/mm] F.ds.
>
>
> Zu 1)
> rot F = [mm]\nabla \times[/mm] F = [mm]\pmat{ \partial_y F_z - \partial_z F_y\\ \partial_z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_x F_x }[/mm]
> = [mm]\vektor{2y - 2y \\ 0 \\ 2x-2x}=\overrightarrow{0}[/mm]
> D.h.
> die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt (rot F=0). Also
> ist F eine Gradientenfeld.
> FRAGE!: Wir haben den beweis nur unter der Vorrausetzung
> gemacht, dass U im [mm]\IR^n[/mm] ein Gebiet ist für jeden in U
> verlaufenden, stetig, diffbaren Weg [mm]\gamma.[/mm] Muss man das
> nicht zeigen?Und wenn was genau?
>
Zu zeigen ist, daß dieser Weg stetig differenzierbar ist.
> F = [mm]\nabla \phi[/mm]
> F(x,y,z)= [mm](\phi_x[/mm] , [mm]\phi_y[/mm] , [mm]\phi_z)[/mm]
>
> [mm]\phi_x[/mm] = 2xy
> [mm]\int \phi_x[/mm] = [mm]\int[/mm] 2xy dx= [mm]x^2[/mm] y + [mm]\psi[/mm] (y,z)
>
> [mm]\phi_y[/mm] = [mm]x^2[/mm] + 2zy= [mm]x^2[/mm] + [mm]\psi_y[/mm] (y,z)
> [mm]\int x^2[/mm] + 2zy dy = [mm]\int x^2[/mm] + [mm]\psi_y[/mm] (y,z)
> [mm]x^2[/mm] y + [mm]zy^2[/mm] + w(z) = x^^y + [mm]\psi(y,z)[/mm]
> [mm]zy^2[/mm] + w(z)= [mm]\psi[/mm] (y,z)
>
> [mm]\phi_z[/mm] = [mm]y^2[/mm] = [mm]y^2[/mm] + [mm]w_z[/mm] (z)
> [mm]\int y^2[/mm] dz = [mm]\int y^2[/mm] + [mm]w_z[/mm] (z) dz
> [mm]y^2[/mm] z + c= [mm]y^2[/mm] z + w(z)
>
> [mm]\phi=(x^2[/mm] y + z [mm]y^2[/mm] +c)
> Das potential müsste stimmen ergibt eine probe.
>
Das stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]2)\int_\gamma[/mm] F.ds = [mm]\int_0^{2\pi} F(\gamma(t)). \gamma'(t)[/mm]
> dt = [mm]\phi(\gamma(2 \pi))[/mm] - [mm]\phi(\gamma(0))=\phi( \vektor{0 \\0\\1}[/mm]
> - [mm]\phi( \vektor{0 \\0\\1}[/mm]
> Da hab ich noch immer 0..
Das ist ja auch richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Wir haben den Weg defeniert als eine stetige Abbildung.
Wegen Deifferenzierbarkeit, ist da ein differenzenquotiten zu berechnen oder wie=?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 11.12.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo
> Wir haben den Weg defeniert als eine stetige Abbildung.
> Wegen Deifferenzierbarkeit, ist da ein differenzenquotiten
> zu berechnen oder wie=?
im Prinzip ja und die Ableitung muss stetig sein. Aber die Mühe macht man sich in der Regel nicht, wenn es nicht explizit gefordert ist.
>
> LG
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Wie würde der Differenzenquotient hier denn aussehen? Ich verstehe das nicht ganz..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 11.12.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
> Wie würde der Differenzenquotient hier denn aussehen? Ich
> verstehe das nicht ganz..
Bei vektorweriten Funktionen ist der 'Differenzenquotient' nicht mehr so einfach wie bei skalaren Funktionen. Hier ist die totale Differenzierbarkeit zu betrachten. Wenn Dich das interessiert solltest Du im Skript bzw. Buch nachlesen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Ah stimmt...
[mm] \gamma [/mm] : [0, 2 [mm] \pi] [/mm] -> [mm] \IR^3. [/mm] eine in [0, 2 [mm] \pi] [/mm] partiell differenzierbare Funktion. Und alle partiellen Abbleitungen [mm] D_k \gamma [/mm] seien in [0, 2 [mm] \pi] [/mm] stetig. Dann ist [mm] \gamma [/mm] total differenzierbar.
Hier gibt es nur eine:
[mm] \frac{\partial \gamma}{\partial t} [/mm] = [mm] \vektor{2t - 2\pi \\ cos t \\- sin t}
[/mm]
Was meint man nun beim vektor unter stetigkeit? Dass die einzelnen Komponente stetig sind oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 11.12.2012 | | Autor: | notinX |
> Ah stimmt...
> [mm]\gamma[/mm] : [0, 2 [mm]\pi][/mm] -> [mm]\IR^3.[/mm] eine in [0, 2 [mm]\pi][/mm] partiell
> differenzierbare Funktion. Und alle partiellen Abbleitungen
> [mm]D_k \gamma[/mm] seien in [0, 2 [mm]\pi][/mm] stetig. Dann ist [mm]\gamma[/mm]
> total differenzierbar.
Genau
> Hier gibt es nur eine:
> [mm]\frac{\partial \gamma}{\partial t}[/mm] = [mm]\vektor{2t - 2\pi \\ cos t \\- sin t}[/mm]
Nein, es gibt drei Komponentefunktionen. Die müssen alle partiell differenzierbar und stetig sein.
>
> Was meint man nun beim vektor unter stetigkeit? Dass die
> einzelnen Komponente stetig sind oder wie?
Sei [mm] $X\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $f:X\to\mathbb{R}^n$ [/mm] dann ist f stetig in [mm] $a\in [/mm] X$ wenn für alle Folgen [mm] $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset [/mm] X$ gilt:
[mm] $x_k\to a\Rightarrow f(x_k)\to [/mm] f(a)$
Es lässt sich zeigen, dass gilt:
$f \ [mm] \text{stetig}\Leftrightarrow f_1,\ldots,f_m\ \text{stetig}$
[/mm]
wobei [mm] $f_i$ [/mm] die Komponentenfunktionen sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Entschuldige dass ich nochmal nachfrage.
> Nein, es gibt drei Komponentefunktionen. Die müssen alle partiell differenzierbar und stetig sein.
Aber du kannst doch nur nach t differenzieren? Woher bekommst du 3 Partielle ableitungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich nur eine Ableitung nach t von allen 3 Komponenten, eine Kurveselbst ist ja eindimensional , auch wenn sie in [mm] \IR^3 [/mm] liegt. und differenzierbar natürlich wenn alle 3 Komp, differenzierbare fkt des Kurvenparameters sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 12.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Okay also nochmal zusammengefasst.
[mm] \gamma [/mm] partiell differenzierbar da:
[mm] \frac{\partial \gamma}{\partial t} [/mm] = $ [mm] \frac{\partial \gamma}{\partial t} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2t - 2\pi \\ cos t \\- sin t} [/mm] $
Und alle partiellen Ableitungen sind stetig:
da 2t - [mm] 2\pi [/mm] ,cos t,- sin t stetig sind
D.h. [mm] \gamma [/mm] total differenzierbar
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Mi 12.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind keine partiellen Abl.
sonder einfach die Ableitung [mm] d\gamma/dt
[/mm]
da [mm] \gamma [/mm] 3 komponenten hat werden natürlich alle 3 abgeleitet, vorher hast du doch auch von [mm] \gamma' [/mm] gesprochen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke Dafür.
Ich hab nochmal versucht, das 2) anders auszurechnen..
$ [mm] 2)\int_\gamma [/mm] $ F.ds = $ [mm] \int_0^{2\pi} F(\gamma(t)). \gamma'(t) [/mm] $
Aber kann das sein, dass dies so supa kompliziert wird bei integrieren mit den vielen termen??
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 11.12.2012 | | Autor: | notinX |
> Danke Dafür.
> Ich hab nochmal versucht, das 2) anders auszurechnen..
> [mm]2)\int_\gamma[/mm] F.ds = [mm]\int_0^{2\pi} F(\gamma(t)). \gamma'(t)[/mm]
Da fehlt noch was:
[mm] $\int_\gamma F\cdot [/mm] ds = [mm] \int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}(t)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
> Aber kann das sein, dass dies so supa kompliziert wird bei
> integrieren mit den vielen termen??
Schon möglich, dass das ein längerer Term wird. Aber um das rauszufinden wirst Du es ausprobieren müssen.
>
>
> Liebe Grüße
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich hab
[mm] \gamma'(t)= \vektor{2t - 2 \pi \\ cos t \\ - sint}
[/mm]
[mm] F(\gamma(t))= \vektor{2t^2 sin t - 4 t \pi sin t\\ t^4 - 4 t^3 \pi + 4 \pi^2 t^2 + 2 sin (t) cos (t) \\ sin^2 t}
[/mm]
[mm] F(\gamma(t)) [/mm] . [mm] \gamma'(t)= 4t^3 [/mm] sint - 4 [mm] \pi t^2 [/mm] sin t - 8 [mm] t^2 \pi [/mm] sin t + 4 [mm] \pi^2 [/mm] t sin t + cos t ( [mm] t^4 [/mm] - [mm] 4t^3 \pi [/mm] + 4 [mm] \pi^2 t^2 [/mm] + 2 sin t cos t) - [mm] sin^3 [/mm] (t)
Das zu integrieren ist doch die Hölle auf erden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 11.12.2012 | | Autor: | notinX |
> Ich hab
> [mm]\gamma'(t)= \vektor{2t - 2 \pi \\ cos t \\ - sint}[/mm]
>
> [mm]F(\gamma(t))= \vektor{2t^2 sin t - 4 t \pi sin t\\ t^4 - 4 t^3 \pi + 4 \pi^2 t^2 + 2 sin (t) cos (t) \\ sin^2 t}[/mm]
Die z-Kompone stimmt nicht.
>
> [mm]F(\gamma(t))[/mm] . [mm]\gamma'(t)= 4t^3[/mm] sint - 4 [mm]\pi t^2[/mm] sin t - 8
> [mm]t^2 \pi[/mm] sin t + 4 [mm]\pi^2[/mm] t sin t + cos t ( [mm]t^4[/mm] - [mm]4t^3 \pi[/mm] +
> 4 [mm]\pi^2 t^2[/mm] + 2 sin t cos t) - [mm]sin^3[/mm] (t)
>
> Das zu integrieren ist doch die Hölle auf erden?
Mag schon sein, aber dafür gibt es ja solche Sätze über konvervative Vektorfelder. Dass man das nicht ausrechnen muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Doch das stimmt, ich habe mich ja in Beitrag 2 entschuldigt, dass ich ein Angabefehler habe.
Diesen haben ich nun auch im ersten beitrag korrigiert.
Aber das Integral von dem term empfinde nicht nur ich als Anfänger als viel zu langwierig um es auszurechnen?
Ich wollts nur als überprüfung machen, aber das ist mir dann doch zuviel arbeit^^
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Di 11.12.2012 | | Autor: | notinX |
> Doch das stimmt, ich habe mich ja in Beitrag 2
> entschuldigt, dass ich ein Angabefehler habe.
das habe ich nicht gesehen.
> Diesen haben ich nun auch im ersten beitrag korrigiert.
> Aber das Integral von dem term empfinde nicht nur ich als
> Anfänger als viel zu langwierig um es auszurechnen?
Mir wäre das auch zuviel. Vor allem weil es unnötig ist.
> Ich wollts nur als überprüfung machen, aber das ist mir
> dann doch zuviel arbeit^^
> LG
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