Gradientenfeld und Potential < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion [mm] g:(0,\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei stetig. Man zeige, dass das Vektorfeld
(vektor) F : [mm] \IR^3 [/mm] \ {0} -> [mm] \IR^3 [/mm] \ {0}, (vektor)F (x,y,z):= (g(r)x, g(r)y, g(r)z)
mit r:= [mm] \wurzel{x^2 + y^2 +z^2} [/mm] ein Gradientenfeld ist. Speziell für g(r):= [mm] \bruch{1}{r^2} [/mm] bestimme man ein Potenzial von (vektor)F. |
Das Vektorfeld mit r:= [mm] \wurzel{x^2 +y^2 +z^2} [/mm] ist ein gradientfeld, da rot (vektor) F ist null.
nun zur bestimmung des potenzials von (vektor) F für g(r):= [mm] \bruch{1}{r^2} [/mm]
dazu muss ich die Komponenten von (vekotr) F integrieren. dann bekomm ich die drei phi funktionen heraus mit noch unbekannten konstanten.
wenn ich gut raten kann, dann könnte ich die konstanten dadurch herausbekommen. wenn ich die konstanen so rauskriege dass alle drei integrierten funktionen dieselbe funktion ergeben, hab ich das potenzial.
ich hab da aber ein paar schwierigkeiten beim integrieren zunächst:
[mm] \integral F_x [/mm] dx = [mm] \integral \bruch{x}{\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}}dx
[/mm]
es gibt ja nur zwei integrationsmethoden,nämlich die partielle integration und die substitution. da ichs mit der parteillen integration nicht hingekriegt habe, nehme ich an ich muss substituieren, aber ich weiß nicht wie, kann mir da einer einen tip geben?
noch eine frage zum potenzial:
wenn ein vektorfeld ein gradientenfeld ist bestitzt es dann auch automatisch ein potenzial oder kann ein gradientenfeld auch kein potezial haben?
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Hallo BlubbBlubb,
> Die Funktion [mm]g:(0,\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei stetig. Man zeige,
> dass das Vektorfeld
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> (vektor) F : [mm]\IR^3[/mm] \ {0} -> [mm]\IR^3[/mm] \ {0}, (vektor)F
> (x,y,z):= (g(r)x, g(r)y, g(r)z)
>
> mit r:= [mm]\wurzel{x^2 + y^2 +z^2}[/mm] ein Gradientenfeld ist.
> Speziell für g(r):= [mm]\bruch{1}{r^2}[/mm] bestimme man ein
> Potenzial von (vektor)F.
> Das Vektorfeld mit r:= [mm]\wurzel{x^2 +y^2 +z^2}[/mm] ist ein
> gradientfeld, da rot (vektor) F ist null.
>
> nun zur bestimmung des potenzials von (vektor) F für g(r):=
> [mm]\bruch{1}{r^2}[/mm]
>
> dazu muss ich die Komponenten von (vekotr) F integrieren.
> dann bekomm ich die drei phi funktionen heraus mit noch
> unbekannten konstanten.
> wenn ich gut raten kann, dann könnte ich die konstanten
> dadurch herausbekommen. wenn ich die konstanen so
> rauskriege dass alle drei integrierten funktionen dieselbe
> funktion ergeben, hab ich das potenzial.
>
> ich hab da aber ein paar schwierigkeiten beim integrieren
> zunächst:
>
> [mm]\integral F_x[/mm] dx = [mm]\integral \bruch{x}{\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}}dx[/mm]
>
> es gibt ja nur zwei integrationsmethoden,nämlich die
> partielle integration und die substitution. da ichs mit der
> parteillen integration nicht hingekriegt habe, nehme ich an
> ich muss substituieren, aber ich weiß nicht wie, kann mir
> da einer einen tip geben?
Wähle die Substitution
[mm]u=x^{2}+y^{2}+z^{2}[/mm]
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> noch eine frage zum potenzial:
>
> wenn ein vektorfeld ein gradientenfeld ist bestitzt es dann
> auch automatisch ein potenzial oder kann ein gradientenfeld
> auch kein potezial haben?
Soweit ich mit erinnern kann hat ein Vektorfeld im [mm]\IR^{3}[/mm]
ein Potential, wenn die Rotation auf einem sternförmigen Gebiet verschwindet.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 So 30.11.2008 | | Autor: | cdlcnox |
Da du g(r):= [mm] \bruch{1}{r^{2}} [/mm] definiert hast dürfte doch im Integral, speziell im Bruch die Wurzel nicht mehr auftauchen?! Dann wäre es auch erheblich einfacher zu integrieren.
Gruß
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