Gradientenquadrat Abschätzung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n\to\IR [/mm] differenzierbar mit [mm] \parallel \nabla [/mm] f(x) - [mm] \nabla [/mm] f(y) [mm] \parallel \le [/mm] L [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] (Norm ist die 2-Norm) für ein L>0 und alle x,y [mm] \in \IR^n [/mm] und inf f [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige [mm] \parallel \nabla [/mm] f(x) [mm] \parallel^2 \le [/mm] 2L(f(x)-inf f). |
Ich hänge komplett fest und kann es nichtmal mit der Zusatzannahme, dass ein Minimium existiert, für eindimensionale Funktionen zeigen. Mein Ansatz wäre f(x) - inf f darzustellen als Integral des Gradienten entlang einer Linie vom Minimum x* (oder später hoffentlich allgemeiner von einem Punkt aus einer Folge die Richtung Minimum) zu x, dann im Integral ein f(x) oder f(x*) einfügen, um die Lipschitzstetigkeit der Ableitung zu verwenden. Aber damit kriege ich [mm] (x-x*)^2 [/mm] rein statt dem Quadrad der Ableitung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:21 Mo 07.10.2024 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Mo 07.10.2024 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ich habe mir auch Gedanken über das Problem gemacht, kam aber ebenfalls zu nichts konkretem.
Ich wäre an einer Lösung interessiert 
Gruß,
Gono
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