Gradientenvektorfeld Satz bew < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V: [mm] \mathbb{R}^n \supset \omega \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] ein Gradientenvektorfeld, [mm] V=\nabla [/mm] f für [mm] f:\omega \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] und [mm] \delta:[a,b] \rightarrow \omega [/mm] eine stetig differenzierbare Kurve. Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{dt}=f(\delta(b)) [/mm] - [mm] f(\delta(a))
[/mm]
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Hallo,
ich habe irgendwie bereits Vorstellungsprobleme mit dem Integral.
Also V ist ein Vektorfeld (jedem Punkt wird ein Vektor zugeordnet). Ferner ist V sogar Gradientenvekorfeld, da gilt: [mm] V=\nabla [/mm] f.
Das [mm] \delta [/mm] ist eine beliebige stetig diffbare Kurve (kann das auch sowas wie [mm] \delta(t)=t^2 [/mm] sein?)
Nun habe ich das Integral von dem Skalarprodukt von [mm] V(\delta(t)) [/mm] und [mm] \delta'(t). [/mm] Aber weder die Kurve noch V sind doch explizit gegeben....wie kann ich denn da den Satz beweisen?
Vielen Dank schonmal für Hinweise und Gruß
vom congo.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze $F(t):= [mm] f(\delta(t))$
[/mm]
Dann ist (mit der Kettenregel): $ F'(t)= [mm] $, [/mm] somit:
Für das Integral
[mm] $\integral_{a}^{b}{dt}$ [/mm]
brauchst Du jetzt nur noch den Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
FRED
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