Gradieten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand helfen. Ich würde mich sehr freuen.
Die Frage lautet: Berechnen Sie den Gradieten von f.
f(x,y,z) = [mm] (x^{2} z^{4} [/mm] + [mm] (sin(xy))^{2})^{arctan(x+z^{2})}
[/mm]
Diese Gleichung haben wir umgeformt, so dass herauskam
f(x,y,z) = [mm] e^{arctan(x+z^{2}) ln[x^{2} z^{4} + (sin(xy))^{2}]}
[/mm]
Diese Vorgehensweise ist mir logisch. Und auch die weitere Rechenweise zur Gradientenbestimmung ist mir bekannt.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich folgende Aufgaben umformen soll. Bin über Tips sehr dankbar.
a) cos [mm] [x^{2}y^{3} [/mm] + [mm] (x^{2})^{ln(y^{2})}]
[/mm]
b) ln [mm] [x^{2} [/mm] + [mm] (y^{4})^{sin(x^{2} + y^{2})}]
[/mm]
c) arctan [x [mm] (y^{4})^{tan x}]
[/mm]
d) sin [mm] [(x^{2})^{cos(y^{2})} ln(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})]
[/mm]
e) [mm] \bruch{(x^{2} + y^{2}x^{3})^{7}}{(x cos (y^{4}))^{6}}
[/mm]
Danke!
Ich hab die Frage nirgendwo anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Fr 17.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nette
Immer dasselbe Rezept :h=( [mm] f(x,y))^{g(x,y} [/mm] ersetze [mm] f(x,y)=e^{ln(f(x,y)} [/mm] dann [mm] h=e^{g(x,y)*ln(f(x,y)}.
[/mm]
Nur bei e) seh ich keinen bedarf, was zu ersetzen.
also [mm] x^{2}^{lny^{2}}=e^{lnx^{2}*lny^{2}}=e^{4*lnx*lny}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hi!
Danke für die Antwort.
Also wäre es bei
a)
cos [mm] [e^{ln(y^{2}) ln(x^{2}y^{3}+x^{2})}]
[/mm]
Oder was passiert mit meinem cos ?
b)
ln [mm] [e^{sin(x^{2} + y^{2}) ln(x^{2} + y^{4})}]
[/mm]
c)
[mm] e^{tan x ln xy^{4}}
[/mm]
d)
sin [ [mm] e^{cos(y^{2} (x^{2}+y^{2}) ln(x^{2})}]
[/mm]
Ist das richtig?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Sa 18.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nette> Hi!
> cos [mm][e^{ln(y^{2}) ln(x^{2}y^{3}+x^{2})}][/mm]
falsch! richtig [mm] :cos(x^{2}y^{3}+e^{lnx^{2}*lny^{2}})=cos(x^{2}y^{3}+e^{2lnx*2lny})
[/mm]
Und das kann man jetzt nach Kettenregel differenzieren, das war doch das Ziel!
>
>
> b)
>
> ln [mm][e^{sin(x^{2} + y^{2}) ln(x^{2} + y^{4})}][/mm]
wieder falsch!
richtig ist [mm] ln(x^{2}+e^{ln(y^{4}*sin(x^{2}+y^{2}))}
[/mm]
>
> c)
>
> [mm]e^{tan x ln xy^{4}}[/mm]
wieder falsch
>
> d)
>
> sin [ [mm]e^{cos(y^{2} (x^{2}+y^{2}) ln(x^{2})}][/mm]
falsch! die letzen 2 solltest du jetzt selbst machen
du hast nicht [mm] f^{g} [/mm] umgewandelt sondern irgendwie auch die anderen Terme da reingemischt. lies meine 1. anleitung noch mal durch. Nur die Terme [mm] f^{g} [/mm] sind doch nicht direkt nach Kettenregel differenzierbar, drum musst du nur die umwandeln! Nur in deiner ersten Beispielfkt. war die ganze Klammer das f und arctan das g
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hi!
Achso. Jetzt fällt der Groschen langsam.
Ist es so richtig?
c)
arctan (x [mm] e^{4 y tanx})
[/mm]
d)
sin [mm] [e^{2 x cos(y^{2})} ln(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})]
[/mm]
Danke schön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nette!
Diese Umformungen stimmen leider immer noch nicht (auch wenn Du inzwischen ganz nah' dran bist).
Aufgabe c.
> arctan (x [mm]e^{4 y tanx})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du unterschlägst nämlich immer den [mm] $\ln$ [/mm] vor der ehemaligen Basis!
[mm] $\arctan\left[x*\left(y^4\right)^{\tan(x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left[x*\left(e^{\ln\left(y^4\right)}\right)^{\tan(x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left[x*\left(e^{4*\ln\left(y\right)}\right)^{\tan(x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left[x*e^{4*\red{\ln}\left(y\right)*\tan(x)}\right]$
[/mm]
Wie lautet also die Umformung für die andere Aufgabe?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 So 19.06.2005 | | Autor: | Nette20 |
Oh man!
Wäre d) dann:
sin [mm] [(e^{2lnx cos (y^{2})}) ln(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})]
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:34 So 19.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Nette!
> Wäre d) dann:
>
> [mm]\sin[(e^{2lnx cos (y^{2})}) ln(x^{2} + y^{2})][/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nette!
> e) [mm]\bruch{(x^{2} + y^{2}x^{3})^{7}}{(x cos (y^{4}))^{6}}[/mm]
Bevor Du hier wild mit der Rechnerei beginnst, hier zunächst vereinfachen, indem man x ausklammert und kürzt:
[mm]\bruch{\left(x^2 + y^2*x^3\right)^7}{\left[x*\cos\left(y^4\right)\right]^6} \ = \ \bruch{\left[x^2*\left(1 + y^2*x\right)\right]^7}{x^6*\cos^6\left(y^4\right)} \ = \ \bruch{x^{14}*\left(1 + y^2*x\right)^7}{x^6*\cos^6\left(y^4\right)} \ = \ \bruch{x^8*\left(1 + y^2*x\right)^7}{\cos^6\left(y^4\right)}[/mm]
Gruß
Loddar
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