Gram-Schmidt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 07.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
folgende aufgabe:
sei [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] der raum der funktionen $f: [mm] \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, [/mm] die bezüglich [mm] $e^{-x^2} \; \text{d}x$ [/mm] im [mm] $L^2$ [/mm] liegen, also
[mm] \displaystyle{ \mathcal{H} := \left\{ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}: \int_\mathbb{R} |f|^2 e^{-x^2} \; \text{d}x < \infty \right\} } [/mm]
mit dem skalarprodukt
[mm] \displaystyle{ \left< f, g \right>_\mathcal{H} := \int_\mathbb{R} \overline{f(x)} g(x) e^{-x^2} \; \text{d}x. } [/mm]
nun soll aus [mm] $\psi_n(x) [/mm] = [mm] x^n, \; [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ [/mm] mittels ![[]](/images/popup.gif) gram-schmidt eine familie orthogonaler funktionen [mm] $\{ H_n \}_{n=0}^\infty$ [/mm] berechnet werden und gezeigt werden, dass [mm] $\{ H_n \} [/mm] $ eine basis in [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ist.
mein ansatz war:
mit partieller integration kann man zeigen, dass
[mm] \displaystyle{ \left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H} = \frac{n + k - 1}{2} \left< x^{n-1}, x^{k-1} \right>_\mathcal{H} } [/mm] und somit, da $ [mm] \int_\mathbb{R} e^{-x^2} \; \text{d}x [/mm] = [mm] \sqrt{\pi} [/mm] $ und [mm] $\int_\mathbb{R} [/mm] x [mm] e^{-x^2} \; \text{d} [/mm] x = 0 $, gilt insgesamt für das skalarprodukt von funktionen aus [mm] $\{ \psi_n \}$ [/mm] - insofern ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] \displaystyle{ \left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{falls } n + k \text{ ungerade} \\ \sqrt{\pi} \; \prod\limits_{l =1}^\frac{n+k}{2} \dfrac{2l - 1}{2} & \text{falls } n + k \text{ gerade} \end{array} \right. } [/mm]
ich habe einfach mal die ersten 4 orthonormalen vektoren berechnet und dabei erhalten:
[mm] \displaystyle{H_0(x) = \dfrac{1}{\sqrt[4]{\pi}} } [/mm]
[mm] \displaystyle{ H_1(x) = \dfrac{\sqrt{2} x}{\sqrt[4]{\pi}} } [/mm]
[mm] \displaystyle{ H_2(x) = \dfrac{\sqrt{2}x^2}{\sqrt[4]{\pi}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi}} } [/mm]
[mm] \displaystyle{ H_3(x) = \dfrac{2x^3}{\sqrt{3} \sqrt[4]{\pi}} - \dfrac{ \sqrt{3}x}{\sqrt[4]{\pi}} } [/mm]
wenn man diese aufgabe in endlicher zeit erledigen will, sollte man ja irgend eine regel sehen, die bei der berechnung der [mm] $H_n$ [/mm] auftritt, die sehe ich aber nicht. insbesondere sehe ich nicht, wie man eine allgemeine formel für die norm angeben kann - die man eben zur normierung der einzelnen vektoren braucht.
ich wäre für jede hilfe dankbar.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo andreas,
ich habe es nicht durchdacht und es ist wahrscheinlich sinnlos, aber vielleicht hilft es, auf die Normierungsschritte des Gram-Schmidt-Verfahrens zu verzichten -- vorausgesetzt, dann entsteht eine orthogonale Basis.
Ich werde mich später nochmal damit beschäftigen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 07.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi marc
mit der idee habe ich auch schon mal einen nachmittag verbracht, als ich noch nicht wusste, dass man immer normieren muss und habe mich dann gewundert, dass das verfahren nicht funktioniert.
hier ein beispiel: sei [mm] $P_1([0, [/mm] 2])$ der vektorraum der polynome auf [0, 2] mit höchstens grad 1 mit der basis [mm] $\mathcal{B} [/mm] = [mm] \{1, x \}$. [/mm] das skalarprodukt sei dabei das [mm] "$L^2([0, [/mm] 2], [mm] \mathbb{R})$ [/mm] skalarprodukt":
[mm] \displaystyle{ \left< f, g \right> := \int_0^2 fg \; \text{d}x } [/mm].
wende nun gram-schmidt ohne normierung an:
[mm] $H_0(x) [/mm] = 1$
[mm] \displaystyle{H_1 (x) = x - \left< 1, x \right> 1 = x - \int_0^2 1 \cdot x \; \text{d} x = x - \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_{x=0}^2 = x - 2} [/mm]
aber leider gilt:
[mm] \displaystyle{\left< H_0, H_1 \right> = \left< 1, x - 2 \right> = \int_0^2 (x-2) \; \text{d}x } = \left. \left( \dfrac{x^2}{2} - 2x \right) \right|_{x=0}^2 = 2 - 4 = -2 \not= 0 [/mm]
es wäre so schön gewesen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo andreas,
ich merke, dass ich mich nicht konzentrieren kann -- ich schaffe es selbst mit Normierungsschritten nicht, eine orthogonale Basis herzustellen:
> hier ein beispiel: sei [mm]P_1([0, 2])[/mm] der vektorraum der
> polynome auf [0, 2] mit höchstens grad 1 mit der basis
> [mm]\mathcal{B} = \{1, x \}[/mm]. das skalarprodukt sei dabei das
> "[mm]L^2([0, 2], \mathbb{R})[/mm] skalarprodukt":
> [mm]\displaystyle{ \left< f, g \right> := \int_0^2 fg \; \text{d}x } [/mm].
>
>
> wende nun gram-schmidt ohne normierung an:
> [mm]H_0(x) = 1[/mm]
> [mm]\displaystyle{H_1 (x) = x - \left< 1, x \right> 1 = x - \int_0^2 1 \cdot x \; \text{d} x = x - \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_{x=0}^2 = x - 2} [/mm]
Mit Normierung:
[mm] $=\integral_0^2 [/mm] 1*1 [mm] dx=x|_0^2=2$ $\Rightarrow$ $H_0=\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm]\displaystyle{H_1 (x) = x - \left< \bruch{1}{2}, x \right> *\bruch{1}{2} = x - \int_0^2 \bruch{1}{2} \cdot x \; \text{d} x *\bruch{1}{2} = x - \bruch{1}{2}\left. \bruch{1}{2}*\dfrac{x^2}{2} \right|_{x=0}^2 = x - \bruch{1}{2}} [/mm]
> aber leider gilt:
> [mm]\displaystyle{\left< H_0, H_1 \right> = \left< 1, x - 2 \right> = \int_0^2 (x-2) \; \text{d}x } = \left. \left( \dfrac{x^2}{2} - 2x \right) \right|_{x=0}^2 = 2 - 4 = -2 \not= 0[/mm]
Nun gilt (auf die Normierung von [mm] H_1 [/mm] verzichte ich, da das Skalarprodukt bilinear ist):
[mm]\displaystyle{\left< H_0, H_1 \right> = \left< \bruch{1}{2}, x - \bruch{1}{2} \right> = \int_0^2 \bruch{1}{2}(x-\bruch{1}{2}) \; \text{d}x } = \left. \left( \bruch{1}{2}\dfrac{x^2}{2} - \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*x \right) \right|_{x=0}^2 = 1 - \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2}\not= 0[/mm]
Wo ist mein Fehler?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 07.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi marc
das hat auch den edit in meiner ursprünglichen frage verursacht: für die induzierte norm gilt
[mm] \left\| b \right \| = \sqrt{ \left< b, b \right>} [/mm]
(ich erlaube mir einfach mal in dem zitierten herumzuschmieren):
Mit Normierung:
[mm]=\integral_0^2 1*1 dx=x|_0^2=2[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]H_0=\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm]
[mm]\displaystyle{H_1 (x) = x - \left< \bruch{1}{\sqrt{2}}, x \right> *\bruch{1}{\sqrt{2}} = x - \int_0^2 \bruch{1}{\sqrt{2}} \cdot x \; \text{d} x *\bruch{1}{\sqrt{2}} = x - \bruch{1}{\sqrt{2}}\left. \bruch{1}{\sqrt{2}}*\dfrac{x^2}{2} \right|_{x=0}^2 = x - 1}[/mm]
Nun gilt (auf die Normierung von [mm]H_1[/mm] verzichte ich, da das
Skalarprodukt bilinear ist):
[mm]\displaystyle{\left< H_0, H_1 \right> = \left< \bruch{1}{\sqrt{2}}, x - 1 \right> = \int_0^2 \bruch{1}{\sqrt{2}}(x-1) \; \text{d}x } = \left. \left( \bruch{1}{\sqrt{2}}\dfrac{x^2}{2} - \bruch{1}{\sqrt{2}}*x \right) \right|_{x=0}^2 =\dfrac{1}{\sqrt{2}} (2 - 2) = 0[/mm]
> Wo ist mein Fehler?
also einfach das wurzelzeihen bei der normberechnung vergessen.
danke schon mal, dass du dir über die aufgabe gedanken machst.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo andreas,
> das hat auch den edit in meiner ursprünglichen frage
> verursacht: für die induzierte norm gilt
> [mm]\left\| b \right \| = \sqrt{ \left< b, b \right>}[/mm]
Oh, ja, natürlich.
>
> (ich erlaube mir einfach mal in dem zitierten
> herumzuschmieren):
>
> Mit Normierung:
> [mm]=\integral_0^2 1*1 dx=x|_0^2=2[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]H_0=\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm]
>
> [mm]\displaystyle{H_1 (x) = x - \left< \bruch{1}{\sqrt{2}}, x \right> *\bruch{1}{\sqrt{2}} = x - \int_0^2 \bruch{1}{\sqrt{2}} \cdot x \; \text{d} x *\bruch{1}{\sqrt{2}} = x - \bruch{1}{\sqrt{2}}\left. \bruch{1}{\sqrt{2}}*\dfrac{x^2}{2} \right|_{x=0}^2 = x - 1}[/mm]
>
>
> Nun gilt (auf die Normierung von [mm]H_1[/mm] verzichte ich, da das
>
> Skalarprodukt bilinear ist):
>
> [mm]\displaystyle{\left< H_0, H_1 \right> = \left< \bruch{1}{\sqrt{2}}, x - 1 \right> = \int_0^2 \bruch{1}{\sqrt{2}}(x-1) \; \text{d}x } = \left. \left( \bruch{1}{\sqrt{2}}\dfrac{x^2}{2} - \bruch{1}{\sqrt{2}}*x \right) \right|_{x=0}^2 =\dfrac{1}{\sqrt{2}} (2 - 2) = 0[/mm]
>
>
> > Wo ist mein Fehler?
>
> also einfach das wurzelzeihen bei der normberechnung
> vergessen.
Ja, dann ist alles klar.
Mittlerweile ist mir auch anschaulich klar, dass man nicht auf die Normierung verzichten kann bzw. dass man bei den "Korrekturen" jedes Vektors immer nur einen Vektor einer ganz bestimmen Länge subtrahieren darf.
> danke schon mal, dass du dir über die aufgabe gedanken
> machst.
Ich werde weiter dran bleiben 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo andreas,
> mein ansatz war:
> mit partieller integration kann man zeigen, dass
> [mm]\displaystyle{ \left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H} = \frac{n + k + 1}{2} \left< x^{n-1}, x^{k-1} \right>_\mathcal{H} }[/mm]
Hier habe ich [mm]\displaystyle{ \left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H} = \frac{n + k \red{-} 1}{2} \left< x^{n-1}, x^{k-1} \right>_\mathcal{H} }[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
raus, aber du weißt ja, was von meinen Rechnungen zu halten ist:
$\left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H}$
$=\integral x^k*x^n*e^{-x^2} dx$
$=\integral \underbrace{x^{k+n-1}}_{=u}*\underbrace{x*e^{-x^2}}_{=v'} dx$
$=\left.\underbrace{x^{n+k-1}}_{=u}*\underbrace{\left(-\bruch{1}{2}\right)*e^{-x^2}}_{=v}\right|_{-\infty}^{+\infty}-\integral \underbrace{(n+k-1)x^{n+k-2}}_{=u'}*\underbrace{\left(-\bruch{1}{2}\right)*e^{-x^2}}_{=v} dx$
$=0-(n+k-1)*\left(-\bruch{1}{2}\right)*\integral x^{n+k-2}*e^{-x^2} dx$
$=\bruch{n+k-1}{2}*\integral x^{n-1}*x^{k-1}*e^{-x^2} dx$
$=\bruch{n+k-1}{2}*\left<x^{n-1},x^{k-1}\right>$
> und somit, da [mm]\int_\mathbb{R} e^{-x^2} \; \text{d}x = \sqrt{\pi}[/mm]
> und [mm]\int_\mathbb{R} x e^{-x^2} \; \text{d} x = 0 [/mm], gilt
> insgesamt für das skalarprodukt von funktionen aus [mm]\{ \psi_n \}[/mm]
> - insofern ich mich nicht verrechnet habe:
> [mm]\displaystyle{ \left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{falls } n + k \text{ ungerade} \\ \sqrt{\pi} \; \prod\limits_{l =1}^\frac{n+k}{2} \dfrac{2l - 1}{2} & \text{falls } n + k \text{ gerade} \end{array} \right. }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das habe ich auch raus, so dass es oben nur ein Schreibfehler war. Ich hatte gehofft, die Frage würde sich dadurch erledigen...
>
>
> ich habe einfach mal die ersten 4 orthonormalen vektoren
> berechnet und dabei erhalten:
> [mm]\displaystyle{H_0(x) = \dfrac{1}{\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
>
> [mm]\displaystyle{ H_1(x) = \dfrac{\sqrt{2} x}{\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
> [mm]\displaystyle{ H_2(x) = \dfrac{\sqrt{2}x^2}{\sqrt[4]{\pi}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
>
> [mm]\displaystyle{ H_3(x) = \dfrac{2x^3}{\sqrt{3} \sqrt[4]{\pi}} - \dfrac{ \sqrt{3}x}{\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
Das habe ich noch nicht nachgerechnet.
> edit: [mm]H_2[/mm] verbessert
>
> wenn man diese aufgabe in endlicher zeit erledigen will,
> sollte man ja irgend eine regel sehen, die bei der
> berechnung der [mm]H_n[/mm] auftritt, die sehe ich aber nicht.
> insbesondere sehe ich nicht, wie man eine allgemeine formel
> für die norm angeben kann - die man eben zur normierung der
> einzelnen vektoren braucht.
Interessant ist aber schon mal, dass [mm] $\left(\{H_{2n}\}_{n=0}^{\infty}\right)^{\perp}=\{H_{2n+1}\}_{n=0}^{\infty}$, [/mm] dass man also [mm] $\{H_{2n}\}_{n=0}^{\infty}$ [/mm] und [mm] $\{H_{2n+1}\}_{n=0}^{\infty}$ [/mm] getrennt voneinander orthonormalisieren kann.
Mehr kanni hcim Augenblick auch nicht beitragen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 So 08.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi marc
> Hier habe ich [mm]\displaystyle{ \left< x^n, x^k \right>_\mathcal{H} = \frac{n + k \red{-} 1}{2} \left< x^{n-1}, x^{k-1} \right>_\mathcal{H} }[/mm]
ups, das verbessere ich mal schnell!
andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:51 So 08.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
> ich habe einfach mal die ersten 4 orthonormalen vektoren
> berechnet und dabei erhalten:
> [mm]\displaystyle{H_0(x) = \dfrac{1}{\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
>
> [mm]\displaystyle{ H_1(x) = \dfrac{\sqrt{2} x}{\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
>
> [mm]\displaystyle{ H_2(x) = \dfrac{\sqrt{2}x^2}{\sqrt[4]{\pi}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
>
> [mm]\displaystyle{ H_3(x) = \dfrac{2x^3}{\sqrt{3} \sqrt[4]{\pi}} - \dfrac{ \sqrt{3}x}{\sqrt[4]{\pi}} }[/mm]
>
>
> wenn man diese aufgabe in endlicher zeit erledigen will,
> sollte man ja irgend eine regel sehen, die bei der
> berechnung der [mm]H_n[/mm] auftritt, die sehe ich aber nicht.
Es gilt:
[mm] $H_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} \, 2^{-n/2}\, (n!)^{-1/2} \, h_n(x)$,
[/mm]
wobei
[mm] $h_n(x) [/mm] = [mm] (-1)^n\, e^{x^2}\, \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}$
[/mm]
das $n$-te Hermite-Polynom ist.
Das ist ein (mir) wohlbekanntes Resultat, allerdings weiß ich gerade nicht, wie man da mit Gram-Schmidt in vertretbarem Zeitrahmen drauf kommen soll. Das könnte eine ziemlich fiese Rechnerei werden, die ich (vorerst) leider dir überlassen muss. :-(
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 So 08.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Stefan
erstmal danke für die antwort.
> Es gilt:
>
> [mm]H_n(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} \, 2^{-n/2}\, (n!)^{-1/2} \, h_n(x)[/mm],
>
>
> wobei
>
> [mm]h_n(x) = (-1)^n\, e^{x^2}\, \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}[/mm]
>
>
> das [mm]n[/mm]-te Hermite-Polynom ist.
ja, das soll man im späteren verlauf der aufgabe auch noch beweisen.
> Das ist ein (mir) wohlbekanntes Resultat, allerdings weiß
> ich gerade nicht, wie man da mit Gram-Schmidt in
> vertretbarem Zeitrahmen drauf kommen soll. Das könnte eine
> ziemlich fiese Rechnerei werden, die ich (vorerst) leider
> dir überlassen muss. :-(
die ersten vier basisfunktionen haben mich schon genug nerven gekostet. ich mache jetzt erstmal eine pause mit der aufgabe.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Jetzt verstehe ich es aber nicht mehr.
Wenn die explizite Darstellung der [mm] $h_n$ [/mm] erst später gefordert ist, was soll denn dann im ersten Aufgabenteil gerechnet werden??
Kann es sein, dass dort einfach die übliche Rekursionsformel für die Hermite-Polynome hergeleitet werden soll?? Kennst du die oder soll ich dazu was schreiben? Kannst du vielleicht zur Sicherheit bitte noch mal die gesamte Aufgabenstellung inklusive aller Teilaufgaben posten?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 Do 12.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Stefan
klar. kein problem. also:
es sei [m] \mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2} \, \, \text{d}x) [/m] der raum der funktionen [m] f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/m], für welche
[m] \displaystyle{\int_\mathbb{R} |f|^2e^{-x^2} \, \text{d}x < \infty } [/m] und es sei [m] \psi_n(x) = x^n \in \mathcal{H} [/m]. das skalarprodukt auf [m] \mathcal{H} [/m] wird durch
[m] \displaystyle{ \left< f, g \right>_\mathcal{H} = \int_\mathbb{R} \overline{f(x)} g(x) \, e^{-x^2} \, \text{d} x } [/m] gegeben.
a. wenden sie die gram-schmidt methode auf [m] \{\psi_n \}_{n=0}^\infty [/m] an und konstruieren sie die menge orthogonaler funktionen [m] \{ H_n \}_{n=0}^\infty [/m]. zeigen sie, dass [m] \{ H_n \}_{n=0}^\infty [/m] eine basis in [m] \mathcal{H} [/m] formiert.
b. beweisen sie, dass [m] \{ H_n(x) \, e^{-x^2/2} \}_{n=0}^\infty [/m] orthonormale basis in [m] L^2( \mathbb{R}, \, \text{d}x ) [/m] darstellt.
c. es seien [m] \Phi_n(x) [/m] die hermitschen funktionen
[m] \displaystyle{ \Phi_n(x) = (-1)^n (2^n n!)^{-1/2} \, \pi^{-\frac{1}{4}} \, e^{x^2/2} \left( \frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^n e^{-x^2}} [/m].
zeigen sie, dass
[m] H_n(x) e^{-x^2/2} = \Phi_n(x) [/m].
das war also die aufgabe. so wirklich wusste ich eben nicht, was ich bei teil a hätte machen sollen. ich habe eben mit der 'kopf-durch-die-wand'-methode versucht eine explizite darstellung der funktionen zu finden. bin aber wie man oben sieht dabei kläglich gescheitert!
die rerusionsformel für hermite-polynome sagt mir überhaupt nichts - hatte bis jetzt auch soweit ich weiß nie wirklich was mit hermite-polynomen zu tun. es würde mich aber auf jeden fall interessieren, wenn du was zu diesen schreiben würdest!
grüße und danke für diene mühe
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mi 25.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Ich habe schon wieder das Buch vergessen. Hoffentlich komme ich morgen (endlich) dazu dir hierauf noch zu antworten.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Ich wollte dir ja noch die Rekursionsformel für die Hermite-Polynome nennen. Eventuell war das ja ein Ziel der Aufgabe, diese auch mit herzuleiten. Das war zumindestens mir ja nicht ganz klar. Denn ansonsten weiß ich nicht, was bei a) zu tun ist.
Ich werde die Rekursionsformel im allgemeineren Kontext herleiten und übernehme dabei die Darstellung in Stoer (Numerische Mathematik I, Springer-Verlag), gestalte den Beweis nur etwas ausführlicher und in eigenen Worten. Durch konkretes Einsetzen der Koeffizienten sollte es dir dann leicht mögich sein daraus eine konkrete Rekursionsformel für die Hermite-Polynome herzuleiten. Übrigens tauchten die Hermite-Polynome vor ein paar Tagen auch im Finanzmathematik-Forum auf: auch die mathematische Welt ist klein. 
Beachte aber bitte, dass die Polynome zwar orthogonal sind, aber nicht notwendigerweise orthonormal. Ich weiß gerade nicht auf Anhieb, wie sich die Formel ändern, wenn man die Polynome normiert.
Es sei
[mm] $\bar{\Pi}_j [/mm] := [mm] \{p \in \Pi_j \, \vert\, p(x) = x^j + a_1 x^{j-1} + \ldots + a_j\, , \, a_i \in \IR \quad (i=1,\ldots,j)\}$ [/mm]
die Menge der normierten Polynomfunktionen vom Grad $j$ und dabei [mm] $\Pi_j$ [/mm] der lineare Raum aller reellen Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le [/mm] j$.
Es seien $a,b [mm] \in \bar{\IR}$, [/mm] $a<b$ beliebig gewählt, und wir betrachten das Intervall $[a,b]$. Es sei [mm] $\omega [/mm] :[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Gewichtsfunktion auf $[a,b]$, d.h. [mm] $\omega$ [/mm] erfülle die folgenden Voraussetzungen:
(1) [mm] $\omega$ [/mm] ist auf $[a,b]$ nichtnegativ und messbar.
(2) Alle Momente
[mm] $\mu_k:= \int_a^b x^k \, \omega(x)\, [/mm] dx$ ($k [mm] \in \IN_0$) [/mm]
existieren und sind endlich.
(3) Für jede Polynomfunktion $s(x)$ mit
[mm] $\int_a^b \omega(x)s(x)\, [/mm] dx=0$
und
$s(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für $x [mm] \in[a,b]$ [/mm]
gilt: $s(x)=0$.
Dann führen wir auf dem Raum aller Funktionen $f [mm] \in L^2[a,b]$, [/mm] für die das Integral
[mm] $\int_a^b\omega(x) \, f(x)^2\, [/mm] dx$
existiert und endlich ist, das folgende Skalarprodukt ein:
[mm] $\langle [/mm] f,g [mm] \rangle_{\omega}:= \int_a^b \omega(x)\, f(x)\, g(x)\, [/mm] dx$.
Man kann nun zeigen:
Satz
Es gibt für [mm] $j=0,1,\ldots$ [/mm] eindeutig bestimmte Polynomfunktionen [mm] $p_j \in \bar{\Pi}_j$ [/mm] mit
[mm] $\langle p_i,p_k \rangle_{\omega} [/mm] = 0$ für $i [mm] \ne [/mm] k$.
Diese Polynomfunktionen genügen der Rekursionsformel
[mm] $p_0(x) [/mm] = 1$,
[mm] $p_{i+1}(x) [/mm] = [mm] (x-\delta_{i+1})\, p_i(x) [/mm] - [mm] \gamma_{i+1}^2\, p_{i-1}(x)$ [/mm] für $i [mm] \ge [/mm] 0$,
wobei [mm] $p_{-1}(x) [/mm] :=0$,
[mm] $\delta_{i+1}:= \frac{\langle xp_i,p_i \rangle_{\omega}}{\langle p_i,p_i \rangle_{\omega}}$ [/mm] für $i [mm] \ge [/mm] 0$.
(hierbei ist [mm] $\langle xp_i,p_i \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \int_a^b \omega(x)\, x\, p_i(x)^2\, [/mm] dx$)
und
[mm] $\gamma_{i+1}^2 [/mm] := [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \mbox{für} & i=0,\\[5pt] \frac{\langle p_i,p_i \rangle_{\omega}}{\langle p_{i-1},p_{i-1} \rangle_{\omega}} & \mbox{für} & i \ge 1. \end{array} \right.$ [/mm]
Beweis
Die Polynome können mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens rekursiv konstruiert werden. Wir setzen [mm] $p_0(x)=1$.
[/mm]
Wir nehmen induktiv an, dass bereits eindeutig bestimmte Polynome [mm] $p_j \in \bar{\Pi}_j$ [/mm] für alle $j [mm] \le [/mm] i$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren. Wir haben zu zeigen, dass es dann ein eindeutig bestimmtes Polynom [mm] $p_{i+1} \in \bar{\Pi}_{i+1}$ [/mm] gibt mit
[mm] $\langle p_{i+1},p_j \rangle_{\omega} [/mm] = 0$ für $j [mm] \le [/mm] i$
und dass dieses Polynom der Rekursionsbedingung
[mm] $p_{i+1}(x) [/mm] = [mm] (x-\delta_{i+1})\, p_i(x) [/mm] - [mm] \gamma_{i+1}^2\, p_{i-1}(x)$
[/mm]
genügt. Offenbar können wir jedes Polynom [mm] $p_{i+1} \in \bar{\Pi}_{i+1}$ [/mm] in der Form
[mm] $p_{i+1} [/mm] = [mm] (x-\delta_{i+1}) \, p_i(x) [/mm] + [mm] c_{i-1}\, p_{i-1}(x) [/mm] + [mm] c_{i-2}\, p_{i-2}(x) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_0\, p_0(x)$
[/mm]
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten [mm] $\delta_{i+1},c_k$, [/mm] $k [mm] \le [/mm] i-1$, schreiben.
Wegen
[mm] $\langle p_j,p_k \rangle_{\omega} [/mm] =0$ für $j [mm] \ne [/mm] k$, $j,k [mm] \le [/mm] i$,
gilt
[mm] $\langle p_{i+1},p_j \rangle_{\omega} [/mm] = 0$ für $j [mm] \le [/mm] i$
genau dann, wenn
a) [mm] $\langle p_{i+1},p_i \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \langle xp_i,p_i \rangle_{\omega} [/mm] - [mm] \delta_{i+1}\, \langle p_i,p_i \rangle_{\omega}=0$,
[/mm]
b) [mm] $\langle p_{i+1},p_{j-1} \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \langle xp_{j-1},p_i \rangle_{\omega} [/mm] + [mm] c_{j-1} \langle p_{j-1},p_{j-1} \rangle_{\omega}$ [/mm] für $j [mm] \le [/mm] i$
gilt. Diese Gleichungen sind nach [mm] $\delta_{i+1}$ [/mm] und [mm] $c_{j-1}$ [/mm] auflösbar, weil
[mm] $p_i \not\equiv [/mm] 0$ und [mm] $p_{j-1} \not\equiv [/mm] 0$
und daher wegen Bedingung 3) an eine Gewichtsfunktion (s.o.) auch
[mm] $\langle p_i,p_i \rangle_{\omega} [/mm] >0$ und [mm] $\langle p_{j-1},p_{j-1} \rangle_{\omega}>0$
[/mm]
gilt.
Aus
a) [mm] $\langle p_{i+1},p_i \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \langle xp_i,p_i \rangle_{\omega} [/mm] - [mm] \delta_{i+1}\, \langle p_i,p_i \rangle_{\omega}=0$
[/mm]
folgt sofort die Formel für [mm] $\delta_{i+1}$:
[/mm]
[mm] $\delta_{i+1}= \frac{\langle xp_i,p_i \rangle_{\omega}}{\langle p_i,p_i \rangle_{\omega}}$ [/mm] für $i [mm] \ge [/mm] 0$.
Weiter ist für $j [mm] \le [/mm] i$ nach Induktionsvoraussetzung
[mm] $p_j(x) [/mm] = [mm] (x-\delta_j) \, p_{j-1}(x) [/mm] - [mm] \gamma_j^2\, p_{j-2}(x)$
[/mm]
und es folgt durch Auflösen nach [mm] $x\, p_{j-1}(x)$ [/mm] sofort:
[mm] $\langle xp_{j-1},p_i \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \delta_j\, \underbrace{\langle p_{j-1}(x),p_i(x) \rangle_{\omega}}_{=\, 0} [/mm] + [mm] \langle p_j,p_i \rangle_{\omega} [/mm] + [mm] \gamma_j^2 \, \underbrace{\langle p_{j-2}(x),p_i(x) \rangle_{\omega}}_{=\, 0} [/mm] = [mm] \langle p_j,p_i \rangle_{\omega}$ [/mm] für $j [mm] \le [/mm] i$.
Daraus folgt zusammen mit
b) [mm] $\langle p_{i+1},p_{j-1} \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \langle xp_{j-1},p_i \rangle_{\omega} [/mm] + [mm] c_{j-1} \langle p_{j-1},p_{j-1} \rangle_{\omega}$ [/mm] für $j [mm] \le [/mm] i$
die Darstellung der anderen Koeffizienten als
[mm] $c_{j-1} [/mm] = - [mm] \frac{\langle p_j,p_i \rangle_{\omega}}{\langle p_{j-1},p_{j-1} \rangle_{\omega}} [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} - \gamma_{i+1}^2 & \mbox{für} & j=i,\\[5pt] 0 & \mbox{für} & j < i \end{array} \right.$
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
Sorry, ich dachte eigentlich die Normierung wäre mit drin. ![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]") Daher ist es nicht genau das, was du wissen wolltest. Ich hoffe ich habe trotzdem nicht ganz an deinem Interesse vorbeigeschrieben.
Hast du denn jetzt vielleicht selber Lust, das mal auf die Hermite-Polynome zu übertragen und die Normierung mit einzuarbeiten?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Fr 27.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Stefan
erstmal danke für die lange antwort. ich werde sie in bald mal durcharbeiten und hoffentlich dann verstehen, was ich bei der aufgabe hätte machen sollen!
beim überfliegen habe ich aber auch festgestellt, dass die mathematische welt doch sehr klein ist. die hermite-polynome sollten mir wohl doch sehr bekannt sein, denn ich schreibe in nächster zeit meine numerik prüfung. dreimal darfst du raten, welches buch gerade auf meinem schreibtisch liegt. ich muss aber zu meiner verteidgung sagen, dass ich bis jetzt noch nicht hineingeschaut habe. damit sollte ich aber so langsam dringenst anfangen, wenn ich kein größeres desaster erleben will!
danke und grüße
andreas
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