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Gram-Schmidt für Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mi 02.12.2020
Autor: inkeddude

Guten Abend, ich beschäftige mich zurzeit mit orthogonalen Polynomen.

Meine Frage habe ich schon auf Matheplanet gepostet, aber da hat  sich noch keiner gemeldet, der mir sagt, was ich falsch mache. Vielleicht findet sich hier einer.

Ich tippe kurz die wichtigsten Sachen auf, die im Skript stehen und dann stelle ich meine Frage:


Definition:

Ein gewichtetes Skalarprodukt über dem Raum der zweimal integrierbareb Funktion [mm] $L^{2}([a, [/mm] b])$ auf dem Intervall $[a, b ] [mm] \subseteq \mathbb{R}$ [/mm] sei definiert durch $(p, q) := [mm] \int\limits_{a}^{b} \omega(x) [/mm] p(x) q(x) dx$
Dabei ist [mm] $\omega: [/mm] [a, b] [mm] \rightarrow [/mm] (0, [mm] \infty]$ [/mm] eine integrierbare Gewichtsfunktion.

Satz:

Seien $H$ ein unitärer Raum und $S [mm] \subseteq [/mm] H$ ein endlich dimensionaler Teilraum. Zu jeder Basis $B:= [mm] \{ v_{1}, \ldots, v_{n} \}$ [/mm] von $S$ lässt sich ein OGS mit dem Gram - Schmidt - Algorithmus konstruieren:

[mm] $\varphi_{1} [/mm] := [mm] v_{1}$ [/mm] und für $k = 2, [mm] \ldots, [/mm] n:$ [mm] $\varphi_{k} [/mm] := [mm] v_{k} [/mm] - [mm] \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} \frac{(v_{k}, \varphi_{i})}{(\varphi_{i}, \varphi_{i})}\varphi_{i}$ [/mm]


Auf einem Übungsblatt hatte ich dann folgende Aufgabe zu beweisen:



Die bezüglich der Gewichtsfunktion [mm] $\omega(x)$ [/mm] auf dem Intervall $[a, b]$  orthogonalen Polynome [mm] $p_{k}$ [/mm] erfüllen [mm] $p_{k} [/mm] = [mm] \frac{C_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right [/mm] ]$, [mm] $C_{k} \in \mathbb{R}$ [/mm]


Den Beweis dieser Aufgabe kann ich. Ich habe gezeigt, dass die Polynome [mm] $p_{k}$ [/mm] alle orthogonal zueinander sind.
Aber mir ist halt immer noch nicht klar, wie genau man auf diese Polynome kommt. Ich bin also eher an einer Herleitung interessiert.
Ist es möglich, diese Polynome herzuleiten oder ist es viel zu kompliziert? Weil nirgends finde ich eine Herleitung. Vielleicht hat man durch orthogonalisieren konkreter Polynome ein Muster erkannt und dieses Muster durch eine Formel ausgedrückt. Ich weiß es nicht.
Wie komme ich auf diese Polynome? Ich würde zunächst die Monombasis $B:= [mm] \{ v_{0} = 1, v_{1} = x, v_{2} = x^{2}, \ldots \}$ [/mm] nehmen und diese bezüglich des obigen Skalarprodukts orthogonalisieren.
Das habe ich gestern und heute ausprobiert, in dem ich [mm] $p_{1}$ [/mm] ausrechnen wollte. Aber da kam ein ganz anderes Ergebnis dabei heraus.


Ich habe folgendes gemacht:



Also ich schaue mir die ersten beide Polynome aus der Aufgabe an:


Für $k = 0$ erhält man:
[mm] $p_{0} [/mm] = [mm] \frac{C_{0}}{\omega(x)} \frac{d^{0}}{dx^{0}} \left [ \omega(x) (x - a)^{0} (b - x)^{0} \right [/mm] ] = [mm] C_{0}$ [/mm]

Für $k = 1$ erhält man:
[mm] $p_{1} [/mm] = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \frac{d^{1}}{dx^{1}} \left [ \omega(x) (x - a)^{1} (b - x)^{1} \right [/mm] ] = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left (\frac{d}{dx} [\omega(x) (x - a)] \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right [/mm] ) = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( (\omega'(x) \cdot (x - a) + \omega(x) \cdot 1) \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right [/mm] ) = [mm] \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( \omega'(x) (x - a)(b - x) + \omega(x) (b - x) - \omega(x)(x - a) \right [/mm] ) $



Jetzt müsste ich durch das Gram-Schmidt-Verfahren die selben Polynome erhalten.

Setze [mm] $\varphi_{0} [/mm] = 1$.

Dann erhalte ich:

[mm] $\varphi_{1} [/mm] = x - [mm] \frac{(x, 1)}{(1,1)} \cdot [/mm] 1 = x - [mm] \frac{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot x \cdot 1 dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot 1 \cdot 1 dx} \cdot [/mm] 1 = x - [mm] \frac{[\int \omega(x) dx \cdot x]_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b} \int \omega(x) dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) dx}$ [/mm]

Aber schon hier wird klar, dass ich irgend etwas falsch mache.


Es gilt [mm] $\varphi_{0} [/mm] = 1$ und [mm] $p_{0} [/mm] = [mm] C_{0}$. [/mm]
Okay, die $1$ ist eine Konstante. Die kann man auch [mm] $C_{0}$ [/mm] nennen.

Aber [mm] $\varphi_{1}$ [/mm] sieht überhaupt nicht so aus wie [mm] $p_{1}$. [/mm]
Was mache ich falsch?


        
Bezug
Gram-Schmidt für Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 02.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die bezüglich der Gewichtsfunktion [mm]\omega(x)[/mm] auf dem
> Intervall [mm][a, b][/mm]  orthogonalen Polynome [mm]p_{k}[/mm] erfüllen
> [mm]p_{k} = \frac{C_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ][/mm], [mm]C_{k} \in \mathbb{R}[/mm]
>  
>
> Den Beweis dieser Aufgabe kann ich. Ich habe gezeigt, dass
> die Polynome [mm]p_{k}[/mm] alle orthogonal zueinander sind.

Dann poste die Antwort doch bei deiner Frage hier, damit andere auch in den Genuss kommen.

>  Aber mir ist halt immer noch nicht klar, wie genau man auf
> diese Polynome kommt. Ich bin also eher an einer Herleitung
> interessiert.

> Ist es möglich, diese Polynome herzuleiten oder ist es
> viel zu kompliziert? Weil nirgends finde ich eine
> Herleitung. Vielleicht hat man durch orthogonalisieren
> konkreter Polynome ein Muster erkannt und dieses Muster
> durch eine Formel ausgedrückt. Ich weiß es nicht.

Das wirds vermutlich sein.

>  Wie komme ich auf diese Polynome? Ich würde zunächst die
> Monombasis [mm]B:= \{ v_{0} = 1, v_{1} = x, v_{2} = x^{2}, \ldots \}[/mm]
> nehmen und diese bezüglich des obigen Skalarprodukts
> orthogonalisieren.

Gute Idee.

> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Also ich schaue mir die ersten beide Polynome aus der
> Aufgabe an:
>  
> Für [mm]k = 0[/mm] erhält man:
>   [mm]p_{0} = \frac{C_{0}}{\omega(x)} \frac{d^{0}}{dx^{0}} \left [ \omega(x) (x - a)^{0} (b - x)^{0} \right ] = C_{0}[/mm]

[ok]
Mach dir aber klar, dass die konstanten [mm] C_k [/mm] beliebige reelle Zahlen sind.
Sind die Polynome für eine Konstante orthogonal, so auch für jede andere…

Insbesondere bedeutet das, dass man die Polynome auch schreiben kann als:
[mm]p_{k} = \frac{\tilde{C}_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (x-b)^{k} \right], \tilde{C}_{k} \in \mathbb{R}[/mm]
Beachte die andere Reihenfolge von x und b hinten in der Klammer.
Das aber nur am Rande…

> Für [mm]k = 1[/mm] erhält man:
>   [mm]p_{1} = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \frac{d^{1}}{dx^{1}} \left [ \omega(x) (x - a)^{1} (b - x)^{1} \right ] = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left (\frac{d}{dx} [\omega(x) (x - a)] \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right ) = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( (\omega'(x) \cdot (x - a) + \omega(x) \cdot 1) \cdot (b - x) + \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right ) = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( \omega'(x) (x - a)(b - x) + \omega(x) (b - x) - \omega(x)(x - a) \right )[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


Das gilt natürlich nur, sofern $\omega'(x)$ überhaupt existiert.
Das muss aber gar nicht gelten! $\omega$ ist zu Beginn nämlich nur als stetig vorausgesetzt, nicht als differenzierbar.
Aber das ignorieren wir jetzt der Einfachheit halber mal (und begründen später, warum \omega eben doch differenzierbar ist).

Zuerst machen wir dann noch einen Schritt und ziehen das $\frac{1}{\omega(x)} in die Klammer und bekommen:

$p_{1} = C_1 \left(\frac{\omega'(x)}{\omega(x)}(x - a)(b - x) - 2x + (a+b)\right )$

Nun hast du noch eine wesentliche Eigenschaft der Rodrigues-Formel vergessen.
Dass die Polynome p_k orthogonal sind, gilt nämlich nur dann (und ich zitiere deine ursprüngliche Aufgabenstellung), "falls die rechte Seite ein Polynom vom Grad $ k $ ist."

Das bedeutet hier, dass $\left(\frac{\omega'(x)}{\omega(x)}(x - a)(b - x) - 2x + (a+b)\right )$ ein Polynom vom Grad 1 sein muss.

Das kann es aber nur sein, falls $\frac{\omega'(x)}{\omega(x)} = \frac{c}{(x-a)}, c\not=2$ oder $\frac{\omega'(x)}{\omega(x)} = \frac{c}{(x-b)}, c\not=2$ oder $\frac{\omega'(x)}{\omega(x)} =  \frac{c}{(x-a)(x-b)}, c\in\IR$ gilt, sonst ist das Polynom nämlich vom Grad 2 oder vom Grad 0.

Das wäre dann gleichbedeutend mit $\omega(x) = c(x-a)$ oder $\omega(x) = c(x-b)$ oder $\omega(x) = c\sqrt[b-a]{\frac{(x-a)}{(b-x)}}$, wie man leicht nachrechnet.
Damit ist \omega dann auch differenzierbar und der Kreis von oben schließt sich…

Wenn du jetzt für die zwei ersten Möglichkeiten deinen Ansatz mal durchrechnest:

> [mm]\varphi_{1} = x - \frac{(x, 1)}{(1,1)} \cdot 1 = x - \frac{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot x \cdot 1 dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot 1 \cdot 1 dx} \cdot 1 [/mm]

wirst du feststellen, dass in beiden Fällen dein [mm] \varphi_1 [/mm] von der gewünschten Form ist.

Gruß,
Gono

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