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Guten Abend,
im Rahmen einer Klausurvorbereitung habe ich heute etwas mit Reihen herumgespielt, für die ich als Übung den Grenzwert bilden wollte.
Nun habe ich mir irgendwann folgende Reihe ausgedacht:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (k*(\bruch{1}{2})^{k+2})
[/mm]
Ich hatte mich darauf etwas im Internet umgeschaut, und herausgefunden, dass man mit Hilfe der Formel s = [mm] \bruch{a}{1-q} [/mm] den Grenzwert einer unendlichen geometrischen Reihe ausrechnen kann, wobei a das erste Glied der Reihe beschreibt und q den Faktor, den man mit dem vorderen Glied multiplizieren muss, um das nächste zu erhalten.
Gesagt getan:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} (k*(\bruch{1}{2})^{k+2})
[/mm]
Daraus folgt mit der Formel s = [mm] \bruch{a}{1-q}:
[/mm]
s = [mm] \bruch{(\bruch{1}{2})^{2}}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Das heißt aus meiner Rechnung folgt, dass der Grenzwert meiner Reihe [mm] (\bruch{1}{2}) [/mm] ist.
Ich frage mich nun erstens, ob mein Ergebnis richtig ist, bzw. ob es richtig war, dass ich beim Grenzwert das k, das noch als Faktor vor dem [mm] (\bruch{1}{2})^{2} [/mm] stand, vernachlässigen kann, da ja im Unendlichen Potenzen gegenüber Faktoren dominieren.
Ich hoffe, jemand kann mir helfen.
Mit freundlichen Grüßen Schnurrbert
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Do 16.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Bastian,
> Nun habe ich mir irgendwann folgende Reihe ausgedacht:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (k*(\bruch{1}{2})^{k+2})[/mm]
Du meinst:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k*(\bruch{1}{2})^{k+2}.
[/mm]
> Ich hatte mich darauf etwas im Internet umgeschaut, und
> herausgefunden, dass man mit Hilfe der Formel s =
> [mm]\bruch{a}{1-q}[/mm] den Grenzwert einer unendlichen
> geometrischen Reihe ausrechnen kann,
Richtig. Sei [mm] a\in\IR [/mm] beliebig und [mm] $q\not=1$, [/mm] dann erhalten wir
[mm] \sum_{k=0}^{n}a*q^k=a*\sum_{k=0}^{n}q^k=a*\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
und somit für [mm] $|q|<1\$
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}a*q^k=a*\sum_{k=0}^{\infty}q^k=a*\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}q^k=a*\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)=a*\frac{1}{1-q}.
[/mm]
Tipp: Rechne das alles genau nach!
> wobei a das erste
> Glied der Reihe beschreibt und q den Faktor, den man mit
> dem vorderen Glied multiplizieren muss, um das nächste zu
> erhalten.
Nein, [mm] $a\$ [/mm] ist eine beliebige reelle Zahl. In diesem Fall ein Faktor,
den wir aus die Summe bzw. Reihe ziehen können und [mm] $q\$ [/mm] muss im
ersten Fall ungleich Eins (Wieso?) und im zweiten Fall aus [mm] $(-1,1)\$
[/mm]
sein (Wieso?).
> Gesagt getan:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} (k*(\bruch{1}{2})^{k+2})[/mm]
>
> Daraus folgt mit der Formel s = [mm]\bruch{a}{1-q}:[/mm]
>
> s = [mm]\bruch{(\bruch{1}{2})^{2}}{1-\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Das heißt aus meiner Rechnung folgt, dass der Grenzwert
> meiner Reihe [mm](\bruch{1}{2})[/mm] ist.
Dein Ergebnis ist richtig, aber deine Rechnung ist falsch. 
Wir können hier deine gefundene Formel nicht direkt anwenden,
aber auch hier gibt es verschiedene Möglichkeiten und Ansätze
für eine "fertige" Formel. Vielleicht habt ihr auch schon ge-
zeigt, dass für alle $|q|<1$ folgendes gilt:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}k*q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}.
[/mm]
(Hier gibt es übrigens sehr viele Wege für einen Beweis und es
hängt davon ab welche Mittel ihr schon benutzen dürft. Wenn du
dazu mehr erfahren möchtest, dann frag ruhig nochmal. Ich nehme
im Folgenden an, dass ihr obige Formel benutzen dürft. Es kann
natürlich sein, dass ihr schon eine sehr ähnliche Formel habt,
aber das Vorgehen wird fast das Gleiche sein.)
Wir wollen nun
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k\cdot{}(\bruch{1}{2})^{k+2}
[/mm]
berechnen, aber der Exponent [mm] $k+2\$ [/mm] passt nicht für unsere Formel,
sodass wir tricksen müssen. Mit
[mm] (\bruch{1}{2})^{k+2}=(\bruch{1}{2})^{k-1+3}=(\bruch{1}{2})^{k-1}*(\bruch{1}{2})^{3}
[/mm]
erhalten wir
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k\cdot{}(\bruch{1}{2})^{k+2}= \summe_{k=0}^{\infty}k\cdot{}(\bruch{1}{2})^{k-1}*(\bruch{1}{2})^{3}=(\bruch{1}{2})^{3}\summe_{k=0}^{\infty}k\cdot{}(\bruch{1}{2})^{k-1}.
[/mm]
Nun ist [mm] $q:=\frac{1}{2}\in(-1,1)$ [/mm] und wir können unsere Formel benutzen:
[mm] (\bruch{1}{2})^{3}\summe_{k=0}^{\infty}k\cdot{}(\bruch{1}{2})^{k-1}=(\bruch{1}{2})^{3}*\frac{1}{(1-\frac{1}{2})^2}=(\frac{1}{2})^3*\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}.
[/mm]
Das könnte man natürlich allgemeiner machen und auch mit einem
anderen Weg. Die wichtige Eigenschaft ist hier allerdings, dass
du deine "Formeln" anpassen musst an deine Reihe.
Übrigens ist es schwierig zu antworten ohne deine mathematischen
Background zu kennen. Füge diesen bitte hinzu.
Gruß
DieAcht
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