Greensche Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Sa 15.03.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | [mm]\begin{flushleft}
\textbf{Aufgabe:} Wir betrachten die Randwertaufgabe
\newline
\newline
$
\begin{cases}
y''(x)+y(x)=h(x) \text{, } x \in [0,2\pi],\\
y(0)=0, \\
y'(2 \pi)=0
\end{cases}
$
\newline
\\f"ur gegebene stetige Funktionen $h:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}$.
\newline
\newline
(a) Zeigen Sie, dass f"ur jedes solche \textit{h} die obige Randwertaufgabe eindeutig l"osbar ist.
\\(b) Bestimmen Sie die Greensche Funktion f"ur das obige Randwertproblem.
[/mm] |
[mm]
\begin{flushleft}
Hallo zusammen :),
\newline
nun ist es soweit, ich habe meine erste Greensche Funktion zu berechnen und einen gro\ss{}en Respekt davor. Die vorliegende Aufgabe habe ich einmal bearbeitet und w"urde von euch wirklich sehr gerne einmal h"oren, ob das so stimmen k"onnte, was ich mir da zusammengereimt habe. Also:
Zu (b): Allgemein hat $\Gamma(x,\xi)$ nach (3) die Form:
\newline
\newline
$
{
\Gamma(x,\xi)=\dfrac{1}{c} \cdot
\begin{cases}
y_{1}^{*}(\xi) \cdot y_{2}^{*}(x) &\text{in } [0,2\pi], x \leq \xi\\
y_{1}(x)^{*} \cdot y_{2}(\xi)^{*} &\text{in } [0,2\pi], x > \xi
\end{cases}
}
$
\newline
\newline
Dabei sind $y_{1}^{*}$ und $y_{2}^{*}$ L"osungen der homogenen DGL $Ly=0$, also Linearkombinationen aus Elementen des Fundamentalsystems $\lbrace y_{1},y_{2}\rbrace = \lbrace cos(x),sin(x)\rbrace$ von Aufgabenteil (a), die aber zus"atzlich auch noch die Randbedingungen $R_{i}=0$ erf"ullen sollen.
\newline
Die L"osungen der DGL haben die allgemeine Form
\newline
$y(x) = A \cdot cos(x) + B \cdot sin(x)$.
\newline
\newline
1. Es muss gelten $R_{1}(y)=y(0)=0$:
\newline
$A \cdot cos(0) + B \cdot sin(0) \overset{!}{=} 0 \Rightarrow A=0$
\\W"ahle $y_{1}^{*}(x)=sin(x)$.
\newline
\newline
2. Es muss gelten $R_{2}(y)=y'(2\pi)=0$:
\newline
$-A \cdot sin(2\pi) + B \cdot cos(2\pi) \overset{!}{=} 0 \Rightarrow B=0$
\\W"ahle $y_{2}^{*}(x)=cos(x)$.
\newline
\newline
Schreibe die DGL um in die Form, wie sie oben unter 1 gefordert wurde und bestimme zun"achst daraus $p$ und $q$:
\newline
$y''(x)+y(x)=(1 \cdot y'(x))'+ 1 \cdot y(x)= h(x)$
\newline
$\Rightarrow p \equiv 1$ und $q \equiv 1$
\newline
\newline
Bestimme nun noch $c$:
\newline
$c=p(x) \cdot (y_{1}^{*}(x)y_{2}'^{*}(x)-y_{1}'^{*}(x)y_{2}^{*}(x)) = sin(x) \cdot (-sin(x))-cos(x) \cdot cos(x) = -1$
\newline
\newline
Eine Greensche Funktion lautet somit
$
{
\Gamma(x,\xi)=(-1) \cdot
\begin{cases}
sin(\xi) \cdot cos(x) &\text{in } [0,2\pi], x \leq \xi\\
sin(x) \cdot cos(\xi) &\text{in } [0,2\pi], x > \xi
\end{cases}
}
$
\end{flushleft}
Wäre toll, wenn jemand mal dr"uber schauen k"onnen, damit ich wei\ss{}, ob ich das denn so grob wenigstens verstanden habe. :)
\\Vielen Dank schon mal und liebe Gr"u\ss{}e!!!
\\Orchis
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Hallo Orchis,
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\textbf{Aufgabe:} Wir betrachten die Randwertaufgabe
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\begin{cases}
y''(x)+y(x)=h(x) \text{, } x \in [0,2\pi],\\
y(0)=0, \\
y'(2 \pi)=0
\end{cases}
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\\f"ur gegebene stetige Funktionen $h:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}$.
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(a) Zeigen Sie, dass f"ur jedes solche \textit{h} die obige Randwertaufgabe eindeutig l"osbar ist.
\\(b) Bestimmen Sie die Greensche Funktion f"ur das obige Randwertproblem.
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Hallo zusammen :),
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nun ist es soweit, ich habe meine erste Greensche Funktion zu berechnen und einen gro\ss{}en Respekt davor. Die vorliegende Aufgabe habe ich einmal bearbeitet und w"urde von euch wirklich sehr gerne einmal h"oren, ob das so stimmen k"onnte, was ich mir da zusammengereimt habe. Also:
Zu (b): Allgemein hat $\Gamma(x,\xi)$ nach (3) die Form:
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{
\Gamma(x,\xi)=\dfrac{1}{c} \cdot
\begin{cases}
y_{1}^{*}(\xi) \cdot y_{2}^{*}(x) &\text{in } [0,2\pi], x \leq \xi\\
y_{1}(x)^{*} \cdot y_{2}(\xi)^{*} &\text{in } [0,2\pi], x > \xi
\end{cases}
}
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Dabei sind $y_{1}^{*}$ und $y_{2}^{*}$ L"osungen der homogenen DGL $Ly=0$, also Linearkombinationen aus Elementen des Fundamentalsystems $\lbrace y_{1},y_{2}\rbrace = \lbrace cos(x),sin(x)\rbrace$ von Aufgabenteil (a), die aber zus"atzlich auch noch die Randbedingungen $R_{i}=0$ erf"ullen sollen.
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Die L"osungen der DGL haben die allgemeine Form
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$y(x) = A \cdot cos(x) + B \cdot sin(x)$.
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1. Es muss gelten $R_{1}(y)=y(0)=0$:
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$A \cdot cos(0) + B \cdot sin(0) \overset{!}{=} 0 \Rightarrow A=0$
\\W"ahle $y_{1}^{*}(x)=sin(x)$.
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2. Es muss gelten $R_{2}(y)=y'(2\pi)=0$:
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$-A \cdot sin(2\pi) + B \cdot cos(2\pi) \overset{!}{=} 0 \Rightarrow B=0$
\\W"ahle $y_{2}^{*}(x)=cos(x)$.
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Schreibe die DGL um in die Form, wie sie oben unter 1 gefordert wurde und bestimme zun"achst daraus $p$ und $q$:
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$y''(x)+y(x)=(1 \cdot y'(x))'+ 1 \cdot y(x)= h(x)$
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$\Rightarrow p \equiv 1$ und $q \equiv 1$
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Bestimme nun noch $c$:
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$c=p(x) \cdot (y_{1}^{*}(x)y_{2}'^{*}(x)-y_{1}'^{*}(x)y_{2}^{*}(x)) = sin(x) \cdot (-sin(x))-cos(x) \cdot cos(x) = -1$
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Eine Greensche Funktion lautet somit
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{
\Gamma(x,\xi)=(-1) \cdot
\begin{cases}
sin(\xi) \cdot cos(x) &\text{in } [0,2\pi], x \leq \xi\\
sin(x) \cdot cos(\xi) &\text{in } [0,2\pi], x > \xi
\end{cases}
}
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Wäre toll, wenn jemand mal dr"uber schauen k"onnen, damit ich wei\ss{}, ob ich das denn so grob wenigstens verstanden habe. :)
\\Vielen Dank schon mal und liebe Gr"u\ss{}e!!!
\\Orchis
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Das hast Du soweit richtig verstanden.
Bei der Greenschen Funktion muss es statt [mm]x > \xi[/mm], [mm]x \blue{\ge} \xi[/mm] heissen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Sa 15.03.2014 | | Autor: | Orchis |
Ich danke dir!!! Das freut mich :)
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