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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 30.03.2010 | | Autor: | wallee |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !
Ich suche eine Möglichkeit einer 3x3 matrix anzusehen, ob Sie eine Grenzmatrix hat oder nicht.
Wie läßt sich generell die Grenzmatrix einer 3x3 bestimmen, ohne den lim n->oo von [mm] A^n [/mm] zu bestimmen ? Die Bestimmung einer stationären Verteilung über Ax=x möchte ich dabei unberücksichtigt lassen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo !
> Ich suche eine Möglichkeit einer 3x3 matrix anzusehen, ob
> Sie eine Grenzmatrix hat oder nicht.
Hallo,
der Überschrift entnehme ich, daß es Dir um stochastische Matrizen geht, richtig?
Da hilft ein Satz (von Markov?) der sagt, daß daraus, daß irgendeine Potenz von A (also u.U. die erste) nur positive Einträge hat, also keine Nullen, folgt, daß die Matrix eine Grenzmatrix hat.
Die umgekehrte Richtung stimmt natürlich nicht, wie man schon an der Einheitsmatrix sieht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 30.03.2010 | | Autor: | wallee |
Das ist mir bekannt, jedoch stört mich an diesem Satz "irgendeine Potenz".
Wenn man also nicht alle Potenzen kennt läßt sich nichts schlussfolgern.
Ich dachte eher es gibt da einen Zusammenhang mit Diagonalisierbarkeit einer Matrix... Wer hat noch einen guten Tipp evtl auch für Literatur dazu ?
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> Das ist mir bekannt, jedoch stört mich an diesem Satz
> "irgendeine Potenz".
> Wenn man also nicht alle Potenzen kennt läßt sich nichts
> schlussfolgern.
Hallo,
naja, oftmals hat ja schon die erste Potenz keine 0 als Eintrag ...
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> Ich dachte eher es gibt da einen Zusammenhang mit
> Diagonalisierbarkeit einer Matrix... Wer hat noch einen
> guten Tipp evtl auch für Literatur dazu ?
Achso. Ich dachte, Du wolltest prinzipiell keine Eigenwerte berechnen.
alle Eigenwerte von -1 verschieden ==> Grenzmatrix existiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:56 Di 30.03.2010 | | Autor: | wallee |
Vielen Dank für die schnelle Antwort Angela !
Wie ist der theoretische Unterbau dieses Ergebnisses "alle von -1 verschieden ?"
Ich wäre auch für Literatur dazu dankbar - nur weiss ich nicht recht wo ich da schauen muss !
gruss
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort Angela !
> Wie ist der theoretische Unterbau dieses Ergebnisses "alle
> von -1 verschieden ?"
Hallo,
einen richtigen Beweis bringe ich da aus dem Stand nicht zustande, ich kenne mich auch nicht so gut aus und müßte erstmal in Büchern wühlen - und ich habe solche Bücher nicht daheim...
Mal so als brainstorming - im Wissen, daß Fragen offenbleiben.
es ist doch richtig, daß stochastische 3x3-Matrizen 3 Eigenwerte haben (?) - nicht unbedingt verschieden.
1 ist ja sowieso ein Eigenwert einer jeden stochastischen Matrix.
Kein Eigenwert kann einen größeren Betrag haben als 1.
Wenn alle 3 Eigenwerte verschieden sind, ist die Matrix diagonalisierbar [mm] A=T^{-1}diag(1, \lambda_1, \lambda_2)T,
[/mm]
es ist [mm] A^n=T^{-1}(1, \lambda_1^n, \lambda_2^n)T. [/mm] Wenn zusätzlich die [mm] \lambda_i\not=-1, [/mm] dann ist [mm] \lambda_i^n=0, [/mm] und damit ist die Grenzmatrix gefunden.
Offen bleibt: was ist, wenn 1 doppelter Eigenwert ist?
Was ist, wenn [mm] \lambda_1=\lambda_2.
[/mm]
Fündig werden solltest Du, wenn Du nach Markov-Prozessen fahndest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 01.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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