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Hey,
ich habe so meine Probleme mit folgender Aufgabe:
Es sei [mm] n\ge [/mm] N und für k = 0,1,2,...,n sei [mm] z_{k} [/mm] := [mm] e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}
[/mm]
1. Interpretieren Sie die Summe: [mm] \produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}*z_{k}| [/mm] geometrisch
2. berechnen Sie den Grenzwert [mm] lim_{n->\infty} \produkt_{n}
[/mm]
Hinweis:
Es ist |sin(x)-x| [mm] \le \frac{|x^3|}{6} [/mm] für [mm] |x|\le2
[/mm]
Mein Ansatz:
1. Summe geometrisch interpretieren:
Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies die Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm] z^{6} [/mm] ja ein Sechseck und weiß das die Summe der 6 Strecken immer kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
Habt ihr sonst noch eine Idee?
zu 2.
Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das [mm] e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}} [/mm] für [mm] e^{i*2*\pi}= [/mm] 1 ist. hilft mir das an dieser Stelle weiter?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. LG
AnnaHundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
> ich habe so meine Probleme mit folgender Aufgabe:
> Es sei [mm]n\ge[/mm] N und für k = 0,1,2,...,n sei [mm]z_{k}[/mm] :=
> [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm]
> 1. Interpretieren Sie die Summe: [mm]\produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}*z_{k}|[/mm]
> geometrisch
>
> 2. berechnen Sie den Grenzwert [mm]lim_{n->\infty} \produkt_{n}[/mm]
>
> Hinweis:
> Es ist |sin(x)-x| [mm]\le \frac{|x^3|}{6}[/mm] für [mm]|x|\le2[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> 1. Summe geometrisch interpretieren:
> Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies die
> Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen
> und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm]z^{6}[/mm] ja
> ein Sechseck und weiß das die Summe der 6 Strecken immer
> kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
> Habt ihr sonst noch eine Idee?
Es ist [mm] z_k^n=1 [/mm] für k=0,1,..,n, [mm] |z_k|=1.
[/mm]
Ist Dir klar, dass [mm] \produkt_{n}=n [/mm] für jedes n ist ?
>
> zu 2.
> Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine
> Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das
> [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm] für [mm]e^{i*2*\pi}=[/mm] 1 ist.
Kannst Du mir sagen, was Du damit meinst ?
Aus [mm] \produkt_{n}=n [/mm] folgt: $ [mm] \lim_{n->\infty} \produkt_{n} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
FRED
> hilft mir
> das an dieser Stelle weiter?
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> Ich hoffe ihr könnt mir helfen. LG
> AnnaHundi
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > 2. berechnen Sie den Grenzwert [mm]lim_{n->\infty} \produkt_{n}[/mm]
>
> >
> > Hinweis:
> > Es ist |sin(x)-x| [mm]\le \frac{|x^3|}{6}[/mm] für [mm]|x|\le2[/mm]
> >
> > Mein Ansatz:
> > 1. Summe geometrisch interpretieren:
> > Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies die
> > Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen
> > und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm]z^{6}[/mm] ja
> > ein Sechseck und weiß das die Summe der 6 Strecken immer
> > kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
> > Habt ihr sonst noch eine Idee?
>
> Es ist [mm]z_k^n=1[/mm] für k=0,1,..,n, [mm]|z_k|=1.[/mm]
Wie kommst du denn darauf das |z|=1 ist?
>
> Ist Dir klar, dass [mm]\produkt_{n}=n[/mm] für jedes n ist ?
Leider nein. Wärst du so lieb und würdest mir das erklären?
> >
> > zu 2.
> > Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine
> > Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das
> > [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm] für [mm]e^{i*2*\pi}=[/mm] 1 ist.
>
> Kannst Du mir sagen, was Du damit meinst ?
Ich dachte, das diese Info vielleicht hilfreich wäre um den Grenzwert zu bestimmen
>
> Aus [mm]\produkt_{n}=n[/mm] folgt: [mm]\lim_{n->\infty} \produkt_{n} = \infty[/mm]
Aber welchen Sinn verfolgt dann der oben genannte Hinweis?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
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> > >
> > > 2. berechnen Sie den Grenzwert [mm]lim_{n->\infty} \produkt_{n}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hinweis:
> > > Es ist |sin(x)-x| [mm]\le \frac{|x^3|}{6}[/mm] für [mm]|x|\le2[/mm]
> > >
> > > Mein Ansatz:
> > > 1. Summe geometrisch interpretieren:
> > > Leider fällt mir hier nicht mehr ein, als das dies
> die
> > > Länge der Strecke ist, die dich am Einheitskreis liegen
> > > und summiert werden Beispielweise habe ich für [mm]z^{6}[/mm] ja
> > > ein Sechseck und weiß das die Summe der 6 Strecken immer
> > > kleiner ist als der Umfang des Einheitskreisen
> > > Habt ihr sonst noch eine Idee?
> >
> > Es ist [mm]z_k^n=1[/mm] für k=0,1,..,n, [mm]|z_k|=1.[/mm]
>
> Wie kommst du denn darauf das |z|=1 ist?
Ist t [mm] \in \IR, [/mm] so ist [mm] |e^{it}|=1. [/mm] Mach Dir das mit [mm] $e^{it}=cos(t)+isin(t)$ [/mm] klar.
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> > Ist Dir klar, dass [mm]\produkt_{n}=n[/mm] für jedes n ist ?
> Leider nein. Wärst du so lieb und würdest mir das
> erklären?
Es ist [mm] |z_k|=1, [/mm] also auch [mm] |z_k*z_{k+1}|=1. [/mm] Somit:
$ [mm] \produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}\cdot{}z_{k}| [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} [/mm] 1=n$
>
> > >
> > > zu 2.
> > > Ich überlege nun schon so lange und habe leider gar keine
> > > Idee wie ich hier ansetzen soll. Ich weiß ja das
> > > [mm]e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}[/mm] für [mm]e^{i*2*\pi}=[/mm] 1 ist.
> >
> > Kannst Du mir sagen, was Du damit meinst ?
> Ich dachte, das diese Info vielleicht hilfreich wäre um
> den Grenzwert zu bestimmen
> >
> > Aus [mm]\produkt_{n}=n[/mm] folgt: [mm]\lim_{n->\infty} \produkt_{n} = \infty[/mm]
>
> Aber welchen Sinn verfolgt dann der oben genannte Hinweis?
Das frage den Aufgabensteller !!
FRED
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> LG
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