Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:27 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Milaa |
| Aufgabe | | [mm] Zz:\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^2} \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{log(i+1)} [/mm] = 0 |
Kann ich hier gleich sagen dass der Grenzwert 0 ist weil [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] sehr schnell gegen 0 geht oder muss ich die Summe explizit betrachten? Ich habe nämlich keine Idee wie ich dies machen könnte außer einer beidseitigen Abschätzung vllt. auf die ich aber auch nicht wirklich kommen konnte.
Würde mich auf jede Hilfe sehr freuen.
Liebe Grüße
Milaa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:36 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Milaa |
| Aufgabe | | [mm] Zz:\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^2} \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{log(i+1)} [/mm] = 0 |
Kann ich hier gleich sagen dass der Grenzwert 0 ist weil [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] sehr schnell gegen 0 geht oder muss ich die Summe explizit betrachten? Ich habe nämlich keine Idee wie ich dies machen könnte außer einer beidseitigen Abschätzung vllt. auf die ich aber auch nicht wirklich kommen konnte.
Würde mich auf jede Hilfe sehr freuen.
Liebe Grüße
Milaa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
das ist ein Doppelposting. Bevor es hier weitergeht, würde ich dich erst einmal bitten, unsere Forenregeln durchzulesen und dann auch zu beachten!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Milaa |
Hallo,
es war ein versehen dadurch das die Frage im falschen Forum war dachte ich, ich kann es löschen und die Frage ins richtige Forum stellen.
Liebe Grüße
Milaa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
bitte lasse einmal gestellte Fragen stehen und lösche sie keinesfalls.
Ich habe deinen obigen Beitrag wiederhergestellt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Milaa |
Oh ich dachte ich konnte sie nicht löschen und habe sie wieder versucht zu löschen bevor ich deine Nachricht gesehen habe. Tut mir leid.
Liebe Grüße
Milaa
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Hallo Milaa,
> [mm]Zz:\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^2} \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{log(i+1)}[/mm]
> = 0
Ich nehme an, der Grenzwert ist nicht gegeben, sondern Du sollst ihn bestimmen, oder?
Gib bitte Aufgaben so wieder, wie Du sie auch bekommen hast, und nicht schon "vorbearbeitet":
> Kann ich hier gleich sagen dass der Grenzwert 0 ist weil
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] sehr schnell gegen 0 geht
Na, so schnell dann auch nicht. Für n=200 gibt der ganze Term mal gerade ca. 0,106. Daran kann man ja noch nichts ablesen. Für wachsendes n scheint das ganze weiter zu fallen, aber ob es nicht vielleicht doch eine untere Schranke >0 gibt, ist damit ja noch nicht gesagt.
Also: nein.
> oder muss ich die
> Summe explizit betrachten? Ich habe nämlich keine Idee wie
> ich dies machen könnte außer einer beidseitigen
> Abschätzung vllt. auf die ich aber auch nicht wirklich
> kommen konnte.
Du wirst eine ziemlich genaue Abschätzung brauchen, so langsam, wie der Term konvergiert.
Versuch doch mal die Reihendarstellung des [mm] \log. [/mm] Vielleicht kommst Du damit weiter.
Ich lasse die Frage halboffen; vielleicht sieht ja jemand mehr.
Grüße
reverend
> Würde mich auf jede Hilfe sehr freuen.
>
> Liebe Grüße
> Milaa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:28 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Milaa |
Hallo reverend,
ja ich sollte den Grenzwert bestimmen und mir schien er 0 zu sein jedoch vermute ich nach deinem Post das ich daneben liege.
Nun wäre es mir wichtig vorerst mal zu wissen ob er nicht gegen 0 konvergiert.
Und ich wüsste jetzt nicht wie ich ln(1+k) =- [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-k^i^+^1}{i+1} [/mm] für -1 < x<= 1 zum Ziel führen kann.
Liebe Grüße
Milaa
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Hallo nochmal,
> ja ich sollte den Grenzwert bestimmen und mir schien er 0
> zu sein jedoch vermute ich nach deinem Post das ich daneben
> liege.
Das weiß ich gar nicht. Sicher sagen kann man, dass 0 eine untere Schranke und 2 eine obere ist.
> Nun wäre es mir wichtig vorerst mal zu wissen ob er nicht
> gegen 0 konvergiert.
Vorerst noch: keine Ahnung.
> Und ich wüsste jetzt nicht wie ich ln(1+k) =-
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-k^i^+^1}{i+1}[/mm] für -1 < x<=
> 1 zum Ziel führen kann.
Ich auch nicht.
Die Aufgabe ist widerspenstig. Ich habe erstmal das Integralkriterium versucht (hattet Ihr das?). Leider macht das nichts einfacher, im Gegenteil.
Besser wäre also wohl doch das Majorantenkriterium, wenn man vermutet, dass der Grenzwert 0 ist - und diese Vermutung teile ich durchaus, nur dass der zu betrachtende Term eben sehr sehr langsam "schrumpft" und schlecht zu vereinfachen ist.
Warum das so mühsam ist, zeigt vielleicht eine Umformung:
[mm] \bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{\log{(i+1)}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2}*\left(\bruch{i+1}{\log{(i+1)}}-\bruch{1}{\log{(i+1)}}\right)=\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{1}{n^2*\log{((i+1)^{1/(i+1)})}}-\bruch{1}{n^2*\log{(i+1)}}\right)=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2*\log{((i+1)^{1/(i+1)})}}\;\;-\;\;\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2*\log{(i+1)}}
[/mm]
Wenn Du jetzt in die Grenzwertbetrachtung gehst, fällt die zweite Summe schnell weg. Das Problem ist die erste. Von [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] wissen wir, dass das für [mm] k\to\infty [/mm] gegen 1 läuft, also der [mm] \log [/mm] davon gegen 0.
Man könnte also noch ein bisschen basteln und mal l'Hospital versuchen, aber so ganz überzeugend finde ich das auch noch nicht.
Es fehlt also irgendwie noch eine geschickte Abschätzung.
Weil ich nicht drauf komme, lasse ich wieder halb offen.
Fiese Aufgabe!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 So 26.01.2014 | | Autor: | Milaa |
Hallo reverend,
erst mal vielen lieben Dank für die ganze Mühe.
Ich werde mal schauen ob ich zu einem Ergebnis kommen werde.
Danke.
Liebe Grüße
Milaa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 25.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Schreib doch mal bitte die komplette Aufgabestellung hin.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Milaa |
Hallo,
Bestimme [mm] $\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^2} \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{log(i+1)} [/mm] $
Liebe Grüße
Milaa
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