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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 06:59 Mi 07/06/2017
Author: DerPinguinagent

Hallo liebe Community,

ich hätte mal eine Frage zu einer Übungsaufgabe.

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] von der Funktion [mm] x^{1/x-1} [/mm]

Nun soll ich den Grenzwert berechen. Ich hatte die Idee dass wenn ich einen Wert für x nehme der ganz nahe an 1 geht bspw. 0,9999999.... , verhält sich die Funktion so, dass man [mm] 1^{0} [/mm] erhält. Daraufhin kann ich es umwandeln und die Regel von L'Hospital anwenden. Bin ich auf dem richtigen Weg?  
LG Johnny1994

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:24 Mi 07/06/2017
Author: fred97

Es ist [mm] $x^{\frac{1}{1-x}}=exp(\frac{ \ln x}{1-x})$ [/mm]

Berechne nun $ [mm] \lim_{x \to 1}\frac{ \ln x}{1-x}$ [/mm] und nutze die Stetigkeit der Exponentialfunktion.

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:32 Do 08/06/2017
Author: DerPinguinagent

Also ich habe das jetzt mal berechnet.

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} [/mm] (ln(x))/(1-x)= - [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} [/mm] (1/x)/1 = 1

Ist das richtig?

LG DerPinguinagent

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Grenzwert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:15 Do 08/06/2017
Author: fred97


> Also ich habe das jetzt mal berechnet.
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 1}[/mm] (ln(x))/(1-x)= -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 1}[/mm] (1/x)/1 = 1
>  
> Ist das richtig?

Ja, aber sehr schlampig formuliert. Ab, nochmal ins Krankenhaus und behandle den Patienten ordentlich !


>  
> LG DerPinguinagent  


Bezug
                                
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:47 Do 08/06/2017
Author: DerPinguinagent

Nur noch mal zu Einordnung für mich. In der Literatur wird gesagt [mm] 0*\infty, \infty*0, \infty-\infty, 1^{\infty}, 0^{0} [/mm] und [mm] \infty^{0} [/mm] zählt dazu auch, steht nicht in der Fachliteratur, [mm] 1^{0}? [/mm]

LG DerPinguinagent

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Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:59 Do 08/06/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Nur noch mal zu Einordnung für mich. In der Literatur wird
> gesagt [mm]0*\infty, \infty*0, \infty-\infty, 1^{\infty}, 0^{0}[/mm]
> und [mm]\infty^{0}[/mm] zählt dazu auch, steht nicht in der
> Fachliteratur, [mm]1^{0}?[/mm]

>

> LG DerPinguinagent

Das sind mehrere der sog. nicht-definierbaren Ausdrücke, vergessen hast du 0/0 sowie [mm] \infty/\infty. [/mm] Und nur auf diese beiden kann man de l'Hospital anwenden. Die anderen muss man geeignet umformen, falls dies überhaupt möglich ist.

Deine Frage ist jedoch ziemlich lieblos formuliert, so dass man nicht verstehen kann, was dein Anliegen ist?

Auch schon weiter oben ist Verwirrung pur: heißt es nun im Nenner des Exponenten x-1 oder 1-x? Für die Version aus dem Themenstart ist

[mm] \lim_{x\rightarrow{1}}\frac{ln(x)}{x-1}=1 [/mm]

und somit

[mm] \lim_{x\rightarrow{1}}x^{\frac{1}{x-1}}=e [/mm]

In den Beiträgen danach ist jedoch diese Frage betreffend ein ziemliches Durcheinander. Ok, die Forensoftware hat in den letzten Tagen nicht wirklich funktioniert. Aber das sollte einen nicht davon abhalten, beim Abfassen von Fragen Sorgfalt walten zu lassen (so man denn zielführende Antworten erwartet).


Gruß, Diophant

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