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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Fr 28.12.2018
Autor: rubi

Aufgabe
Berechne den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{tan\wurzel{4x}}{\wurzel{x}} [/mm]

Hallo zusammen,

ich habe mit Hilfe des Taschenrechners ermittelt, dass der Grenzwert 0 sein sollte.
Wie kann man dies berechnen ? Mit l'Hospital ?
Ich dachte, da tan(x) für [mm] x\rightarrow \infty [/mm] keinen Grenzwert besitzt (und auch nicht aufgrund der Periode gegen unendlich strebt) dass man l'Hospital gar nicht anwenden darf.

Vielen Dank für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Fr 28.12.2018
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Ich sehe es  ebenfalls so, daß die Funktion keinen Grenzwert besitzt. Der Nenner staucht den Grafen für größere x immer weiter, was aber nichts an den Polen ändert. Und durch das das [mm] \sqrt{4x} [/mm] wird die Periode zwar immer größer, aber mehr passiert da auch nicht.
Im Grunde wird der Bereich zwischen den Polen eben immer breiter und flacher, so daß die Wahrscheinlichkeit, beim Ausprobieren mit dem Taschenrechner einen größeren Funktionswert zu erhalten, immer geringer wird. Kein wunder also, daß man durch Ausprobieren denkt, daß da ein Grenzwert ist.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Sa 29.12.2018
Autor: fred97


> Berechne den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{tan\wurzel{4x}}{\wurzel{x}}[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich habe mit Hilfe des Taschenrechners ermittelt, dass der
> Grenzwert 0 sein sollte.
> Wie kann man dies berechnen ? Mit l'Hospital ?
> Ich dachte, da tan(x) für [mm]x\rightarrow \infty[/mm] keinen
> Grenzwert besitzt (und auch nicht aufgrund der Periode
> gegen unendlich strebt) dass man l'Hospital gar nicht
> anwenden darf.
>
> Vielen Dank für eure Antworten.
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Der obige  Grenzwert existiert nicht.

Dazu  genügt es, die Funktion [mm] g(t)=\frac {\tan t}{t} [/mm] zu betrachten.

Für jedes natürliche n ist

(1) g(n [mm] \pi)=0. [/mm]

Nun betrachten wir für jedes natürliche n das Intervall [mm] I_n=((2n-1)\frac{\pi}{2}, (2n+1)\frac{\pi}{2}). [/mm] Der Zwischenwertsatz liefert, dass  es in jedem [mm] I_n [/mm] ein [mm] t_n [/mm] gibt mit

(2) [mm] g(t_n)=1. [/mm]

Aus (1) und (2) folgt  nun, dass der fragliche Grenzwert nicht  existiert.


Bezug
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