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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert
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Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Mi 08.11.2006
Autor: cosmos321

Aufgabe
Zeigen sie mit der Definition des Grenzwertes [mm] (\varepsilon [/mm] - N- Technik):

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n} \* \bruch{n^{2}}{2^{n}} [/mm] = 0

Hallo zusammen! Ich hoffe es kann mir jemand erklären wie diese Aufgabe geht! Ich finde keinen Ansatz dazu!

MERCI

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mi 08.11.2006
Autor: max3000

Hallöchen.

Du willst sozusagen zeigen:

[mm] \forall [/mm] e>0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: |(-1)^{n}\bruch{n^{2}}{2^{n}}|
Das [mm] (-1)^{n} [/mm] kannst du weglassen, da wir sowieso den Betrag betrachten.
Setzt du mal für n=1, dann ist e>1/2. Da hast du schonmal ein mögliches N. Du brauchst aber eins, was von e abhängt, also ein N(e). Da versuchst du einfach mal ein N(e) in deine Gleichung einzusetzen, damit diese immer kleiner als e wird. Ich habe festgestellt, dass:

[mm] \bruch{n^{2}}{2^{n}} [/mm] < [mm] \bruch{n^{2}}{2} [/mm] für alle n>1 gilt. Darum kannst du das als dein neues e festlegen. Nach n umgestellt hast du dann dein N mit [mm] N=\wurzel{2e}. [/mm] Die Lösung lautet also:

[mm] \forall [/mm] e>0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] N=max{1,\wurzel{2e}}: [/mm] |a(n)|<e.

Hoffe ich konnte dir helfen.

Bitte korrigiert mich, falls etwas falsch ist.

Gruß Max



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