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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Do 23.11.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | Man berechne im Falle ihrer Existenz die folgenden Grenzwerte:
[mm] a)\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}
[/mm]
[mm] b)\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{3^n+4^n+5^n} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der Berechnung dieser Grenzwerte.
a)Der Grenzwert ist 1;
b)Allem Anschein nach ist der Grenzwert die Basis des größten Summanden unter der Wurzel, also 5, ich weiß aber nicht wie ich das zeigen soll.
Wäre nett, wenn mich jemand auf den richtigen Weg bringen könnte.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ne Aufgabe so gestellt wird soll man eigentlich erst die Konvergenz beweisen.
zu2.
klammer unter der Wurzel [mm] 5^n [/mm] aus, zie es aus der Wurzel raus und mach dann weiter.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:33 Fr 24.11.2006 | | Autor: | darwin |
Danke erstmal.
Bei der Aufgabe a) iat mir noch nicht klar wie ich vorgehen soll. Dass die Folge konvergiert ist ja klar, doch wie beweise ich das und wie ermittle ich den Grenzwert? Ist denn ein Grenzwert nicht auch ein Beweis für die Konvergenz?
zu b) Wenn ich [mm] 5^n [/mm] aus der Wurzel nehme müsste das so aussehen:
[mm] 5*\wurzel[n]{\left( \bruch{3}{5} \right)^n + \left( \bruch{4}{5} \right)^n+1}
[/mm]
Da die beiden Ausdrücke in den Klammern unter der Wurzel gegen 0 konvergieren, müsste die Wurzel den Wert 1 haben.
[mm] =5+\wurzel[n]{1}
[/mm]
=5
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Hi!
Also zuerst muss man davon ausgehen, dass für alle [mm]n \geq 1[/mm] gilt: [mm]\wurzel[n]{n} \geq 1[/mm].
Dann kann man nämlich folgendes ansetzen:
[mm]\wurzel[n]{n} = 1 + a_{n}[/mm]
Nach n umgeformt ergibt das:
[mm]n = (1+a_{n})^n[/mm]
Nach dem binomischen Satz gilt dann:
[mm](1+a_{n})^n = 1 + n \cdot a_{n}+ \pmat{ n \\ 2 }a_{n}^2+...+\pmat{ n \\ n }a_{n}^n[/mm]
Wenn man jetzt bis auf [mm] \pmat{ n \\ 2 }a_{n}^2 [/mm] alles weglässt, verkleinert sich die Summe (weil jedes Glied positiv ist), es gilt also:
[mm]n = (1+a_{n})^n > \pmat{ n \\ 2 }a_{n}^2
\Rightarrow n > \pmat{ n \\ 2 }a_{n}^2[/mm] (wegen Transitivität)
Ein bisschen Umformarbeit liefert:
[mm]\pmat{ n \\ 2 }a_{n}^2 = \bruch{n!}{2!(n-2)!}a_{n}^2=\bruch{n^2 - n}{2}a_{n}^2[/mm]
Es gilt also:
[mm]n > \pmat{ n \\ 2 }a_{n}^2 \gdw n > \bruch{n^2 - n}{2}a_{n}^2 \gdw a_{n}^2 < \bruch{2}{n-1} \gdw a_{n} < \wurzel{\bruch{2}{n-1}}[/mm]
Aus [mm]n = (1+a_{n})^n[/mm] folgt dann sofort:
[mm]\wurzel[n]{n}-1 = a_{n} < \wurzel{\bruch{2}{n-1}}[/mm]
Das formt man dann auch nach n um:
[mm]a_{n} < \wurzel{\bruch{2}{n-1}} \gdw a_{n}^2 < \bruch{2}{n-1} \gdw \bruch{2}{a_{n}^2} + 1 < n[/mm]
Jetzt wählt man sich einfach ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] für das gilt:
[mm]n > \bruch{2}{\varepsilon^2} + 1
\gdw \left | \wurzel[n]{n} - 1 \right | < \varepsilon[/mm]
Und das war der Beweis.
Ich hoffe, er ist ausführlich und übersichtlich genug.
Gruß,
Samael
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