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Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:22 Do 28.12.2006
Autor: Sharik

Aufgabe
Berechne die Grenzwerte in [mm] \hat \IR [/mm]

a)    [mm] \lim_{x \to \infty} [(x+1)^{1/p}+(x-1)^{1/p} [/mm]

b)    [mm] \lim_{x \to 1} \bruch{\wurzel[p]{x} - 1}{\wurzel[q]{x} - 1} [/mm]   für p,q [mm] \in \IN [/mm]

c)    [mm] \lim_{n \to \infty} \bruch{x^{2n}}{n^2} [/mm]     für x [mm] \in \IR [/mm]

und begründe deine Ergebnisse.





Hey kann mir jemand dabei helfen?
Ich weiß leider garnicht, wie ich da vorgehen soll.

Danke schon mal...


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert: Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Sharik!


Darfst Du auch mit dem MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten?


> c)    [mm]\lim_{n \to \infty} \bruch{x^{2n}}{n^2}[/mm]

[mm] $x^{2n} [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(x^2)} \ \right]^n [/mm] \ = \ [mm] e^{n*\ln(x^2)}$ [/mm]

Damit hast Du für den Bruch den Fall [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] und Voraussetzung für besagten Herrn de l'Hospital.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Do 28.12.2006
Autor: Sharik

Falls ich mich nicht täusche wurde der Satz von l´Hospital noch nicht eingeführt.
Gäbe es denn eine andere Möglichkeit?

Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Sharik!


Schreiben wir erst einmal um:   [mm]\lim_{x \to 1} \bruch{\wurzel[p]{x} - 1}{\wurzel[q]{x} - 1} \ =\ \lim_{x \to 1} \bruch{x^{\bruch{1}{p}} - 1}{x^{\bruch{1}{q}} - 1} [/mm]

Da wir hier den Fall [mm] $\bruch{1-1}{1-1}=\bruch{0}{0}$ [/mm] haben, können wir also wieder mit de l'Hospital arbeiten ...


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Do 28.12.2006
Autor: Sharik


> Hallo Sharik!
>  
>
> Schreiben wir erst einmal um:   [mm]\lim_{x \to 1} \bruch{\wurzel[p]{x} - 1}{\wurzel[q]{x} - 1} \ =\ \lim_{x \to 1} \bruch{x^{\bruch{1}{p}} - 1}{x^{\bruch{1}{q}} - 1}[/mm]
>
> Da wir hier den Fall [mm]\bruch{1-1}{1-1}=\bruch{0}{0}[/mm] haben,
> können wir also wieder mit de l'Hospital arbeiten ...
>  

aber hier geht doch x gegen 1 bedeutet das nicht, dass x die Zahl 1 nie erreicht? Und müsste ich hier nicht auch ein Fallunterscheidung machen was schneller wächst die p-te oder q-te Wurzel?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Grenzwert Wurzel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 Fr 29.12.2006
Autor: clwoe

Hi,

du hast schon recht, wenn du sagst, dass x die Zahl 1 niemals erreicht, aber trotzdem musst du doch irgendwie feststellen gegen welchen Wert dann der Wert der Wurzel läuft, und wenn x nunmal gegen 1 läuft, dann läuft die Wurzel nunmal auch gegen 1 und somit der Zähler und der Nenner jeweils gegen 0. Und eine Fallunterscheidung brauchst du hier überhaupt nicht, da egal welche Wurzel aus 1 immer wieder 1 ist.

Es läuft wie Loddar schon gesagt hat, wieder auf L'Hospital hinaus.

Gruß,
clwoe




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