Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten morgen.
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] a_n=e^ (^\alpha^+^i^)^n. [/mm] Dabei gilt [mm] \alpha\in\IR, \alpha<0.
[/mm]
Im Prinzip kann ich ja auch schreiben:
[mm] a_n=e^i^ (^\alpha^+^n^) [/mm] und stelle fest, dass es sich eiegtnlich um nichts anderes als die Eulerfolge handelt [mm] (a_n=e^i^ (^\alpha^+^n^) [/mm] = [mm] cos(\alpha+ n)+isin(\alpha+n).
[/mm]
Was würdet ihr jetzt sagen? Ist Sie divergent oder konvergent? Sowohl Kosinus als auch Sinus [mm] \alpha [/mm] sind meiner Meinung nach bis zu einem bestimmten Wert [mm] \in\IR, \alpha<0 [/mm] begrenzt. Und springen bei definierten Werten immer zwischen -1 und 1. Ich erhalte durch die Eulersche Gleichung, so kann ich mich erinnern einen Kreis. Kann dieser denn überhaupt konvergent sein? Ich sage, die Folge ist divergent.
|
|
| |
|
> Guten morgen.
> Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
> [mm]a_n=e^ (^\alpha^+^i^)^n.[/mm] Dabei gilt [mm]\alpha\in\IR, \alpha<0.[/mm]
>
> Im Prinzip kann ich ja auch schreiben:
> [mm]a_n=e^i^ (^\alpha^+^n^)[/mm] und stelle fest, dass es sich
> eiegtnlich um nichts anderes als die Eulerfolge handelt
> [mm](a_n=e^i^ (^\alpha^+^n^)[/mm] = [mm]cos(\alpha+ n)+isin(\alpha+n).[/mm]
>
> Was würdet ihr jetzt sagen? Ist Sie divergent oder
> konvergent?
Konvergent (gegen $0$). Es ist ja
[mm]a_n=\mathrm{e}^{(\alpha+\mathrm{i})n}=\mathrm{e}^{\alpha n}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}n}[/mm]
und wegen [mm] $\alpha<0$ [/mm] ist [mm] $\lim_{n\rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{\alpha n}=0$. [/mm] Dass der beschränkte Faktor [mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i}n}$ [/mm] (mit [mm] $\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}n}\right|=1$)noch [/mm] ein wenig auf dem Einheitskreis herumirrt, ändert daran nichts: das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge.
|
|
|
| |
|
Okay. Dankeschön schonmal. Aber woher weiß ich denn, dass [mm] |e^i^n|=1.
[/mm]
Einmal weiß ich nicht, wieso du dort jetzt den Betrag nimmst liegt natürlich an mir. Und zum anderen weiß ich nicht, warum das =1 ist. i ist eine Komplexe Zahl das ist mir klar. ziehst du dann die Wurzel daraus oder wodurch komme ich auf 1???
Oder anders: Woran erkenne ich denn eine beschränkte Folge?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mi 21.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{ir}=cosr+i*sinr [/mm] cos^2r+sin^2r=1
Den Betrag, damit du siehst, dass der immer 1 ist!
Gruss leduart
|
|
|
|
