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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:02 So 01.02.2009 | | Autor: | Delta-1656 |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie folgende Behauptungen:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{a}/a^{x}=0 [/mm] mit a>1
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}=lna [/mm] mit a>0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo und schönen Sonntag!
Also ich weiß gar nicht, wie ich an die Aufgabe gehen soll :( Das a ist ja eine feste Zahl, oder?!
Bin dankbar für alle tipps!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Delta!
Darfst Du denn schon die  Grenzwertsätze nach de l'Hospital verwenden? Diese Regel musst Du dann mal "mehrere" Male anwenden.
Aufgabe b.) ist leider nicht zu entziffern ... da fehlt doch irgenwas?!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 So 01.02.2009 | | Autor: | Delta-1656 |
Hallo;)
Ja, bei der b) hab ich natürlich wieder mal was verschlampert:):
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (a^{x} [/mm] -1)/x=ln(a)
So, ich probier das jetzt mal mit L'Hospital!
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Hallo nochmal:)
Wenn ich l'Hospital anwende, müssten dann nicht sowohl [mm] x^{a} [/mm] und [mm] a^{x} [/mm] gegen 0 gehen, damit es ein unbestimmter Ausdruck wird? Aber hier gehen doch beide gegen [mm] \infty [/mm] , nur dass der nenner schneller wächst und somit der Bruch gegen 0 geht?!
Oje...
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Hallo Delta,
> Hallo nochmal:)
>
> Wenn ich l'Hospital anwende, müssten dann nicht sowohl
> [mm]x^{a}[/mm] und [mm]a^{x}[/mm] gegen 0 gehen, damit es ein unbestimmter
> Ausdruck wird?
Nein, de l'Hôpital kannst du bei unbestimmten Ausdrücken der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder $ \ [mm] \pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] anwenden.
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
> Aber hier gehen doch beide gegen [mm]\infty[/mm] ,
> nur dass der nenner schneller wächst und somit der Bruch
> gegen 0 geht?!
Das musst du durch wiederholte Anwendung der besagten Regel zeigen ...
> Oje...
LG
schachuzipus
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Also, wenn ich jetzt l'Hospital anwende, dann komm ich auf:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{a}/a^{x}= [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (a*x)^{a-1}/ln(a)*a^{x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} ((a-1)*(a*x)^{a-2}/((1/a)*a^{x}+ln(a)+ln(a)*a^{x}
[/mm]
Aber das würde ja jetzt so ewig weitergehen? Wo genau komme ich dann auf meinen Grenzwert 0 ?
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Hallo Delta,
jetzt bist du doch wieder bei einem l'Hospital-fähigen Ausdruck.
Überleg dir mal, was nach n-maligem Ableiten (also n-maligen Anwenden von l'Hospital) dasteht.
Ps.: Es geht allgemein aber auch ohne l'Hospital. Du kannst [mm] a^k [/mm] auch darstellen als [mm] (1-x)^k [/mm] (mit x=a-1) und dann geschickt über den binomischen Satz abschätzen, aber das ist ein wenig mühsam.
lg Kai
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