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| Aufgabe | Man zeige, dass die durch [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^{3}}{10}+\bruch{x_n^{5}}{100} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1 definierte Folge konvergiert und bestimme Ihren Grenzwert.
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Konvergenz: Induktionsanfang bei n=1, [mm] x_2 [/mm] ist somit [mm] \bruch{91}{100} [/mm] (klar, durch einsetzen!).
Wieso soll ich jetzt zeigen, dass [mm] $0\le x_{n+1}\le x_n\le [/mm] 1$ ist?
Wie kommt man auf die 0 bzw. wieso macht man das?
Ich würde hier zeigen, dass [mm] $0\le x_{n+2}\le x_{n+1}\le [/mm] 1$ ist. (0 übernehme ich, obwohl mir die Herkunft nicht klar ist)
Dann setze ich ein:
[mm] $0\le x_{n+1}-\bruch{x_{n+1}^{3}}{10}+\bruch{x_{n+1}^{5}}{100}\le \bruch{x_n^{3}}{10}+\bruch{x_n^{5}}{100}\le [/mm] 1$.
Wenn ich vor dieser Ungleichung sitze, dann würde ich sie anhand von [mm] \gdw [/mm] Pfeilen lösen.
Aber ich kann rechnen wie bzw. was ich mag, ich komme auf keinen grünen Zweig....
Gibt es vielleicht einen Trick?
Besten Dank an alle "HELFER"
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Hallo pippilangstrumpf,
> Man zeige, dass die durch [mm]x_1=1[/mm] und
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^{3}}{10}+\bruch{x_n^{5}}{100}[/mm] für
> [mm]n\ge[/mm] 1 definierte Folge konvergiert und bestimme Ihren
> Grenzwert.
>
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> Konvergenz: Induktionsanfang bei n=1, [mm]x_2[/mm] ist somit
> [mm]\bruch{91}{100}[/mm] (klar, durch einsetzen!).
> Wieso soll ich jetzt zeigen, dass [mm]0\le x_{n+1}\le x_n\le 1[/mm]
> ist?
> Wie kommt man auf die 0 bzw. wieso macht man das?
>
> Ich würde hier zeigen, dass [mm]0\le x_{n+2}\le x_{n+1}\le 1[/mm]
> ist. (0 übernehme ich, obwohl mir die Herkunft nicht klar
> ist)
>
> Dann setze ich ein:
> [mm]0\le x_{n+1}-\bruch{x_{n+1}^{3}}{10}+\bruch{x_{n+1}^{5}}{100}\le \bruch{x_n^{3}}{10}+\bruch{x_n^{5}}{100}\le 1[/mm].
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> Wenn ich vor dieser Ungleichung sitze, dann würde ich sie
> anhand von [mm]\gdw[/mm] Pfeilen lösen.
> Aber ich kann rechnen wie bzw. was ich mag, ich komme auf
> keinen grünen Zweig....
>
> Gibt es vielleicht einen Trick?
Wenn Du zeigen kannst, daß diese Folge monoton fallend (steigend)
und nach unten (oben) beschränkt ist, dann ist diese Folge auch konvergent.
Bezüglich der Monotonie untersuchst Du [mm]x_{n+1}-x_{n}[/mm].
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> Besten Dank an alle "HELFER"
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 29.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo pippilangstrumpf!
> Wieso soll ich jetzt zeigen, dass [mm]0\le x_{n+1}\le x_n\le 1[/mm] ist?
> Wie kommt man auf die 0 bzw. wieso macht man das?
Man könnte hier als untere Schranke $-1_$ wählen oder jeden anderen kleineren Wert.
Und man macht dies, um die Beschränktheit der Folge (nach oben und nach unten) zu zeigen.
> Ich würde hier zeigen, dass [mm]0\le x_{n+2}\le x_{n+1}\le 1[/mm] ist.
Das ist dasselbe wie oben.
Gruß
Loddar
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