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Grenzwert: Hinweis nötig
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Do 14.01.2010
Autor: steem

Aufgabe
Berechne:

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos({\bruch{\pi}{6}+ \Delta x)+cos(\bruch{\pi}{6})}}{\Delta x} [/mm]

Benutze dazu ein geeignetes Additionstheorem (ggfs. in einer Formelsammlung nachschlagen).
Zur Lösung der Aufgabe darf, falls benötigt, auch folgende Gleichung benutzt
werden:

[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1

Irgendwie komme ich hier mit dem Umstellen nicht weiter.

Erstmal habe ich das Additionstheorem angewendet.

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)+sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)-cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x} [/mm]

Dann wäre es ja sinnvoll, wenn man das [mm] $\Delta [/mm] x$ irgendwie isolieren könnte, nur finde ich keinen Weg dorthin.
Die Brüche getrennt aufschreiben hat mir auch nicht geholfen den nächsten Schritt zu erkennen.

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)}{\Delta x}+\bruch{sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)}{\Delta x}-\bruch{cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x} [/mm]

So wie es jetzt dasteht, würde alles unendlich groß werden, weil man durch einen unendlich kleinen Wert teilt.

Dieser Teil: [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)}{\Delta x} [/mm] wäre ja aufgrund des Hinweises [mm] sin(\bruch{\pi}{6}), [/mm] oder sehe ich das falsch? Darf man überhaupt den Grenzwert nur für einen Term ausrechnen und den Rest seperat weiterbehandeln?

Hier sähe das z.B. so aus:

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)}{\Delta x}+sin(\bruch{\pi}{6})-\bruch{cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x} [/mm]

Und wie kriege ich es jetzt hin, dass das [mm] $\Delta [/mm] x$ seperat steht?


        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Do 14.01.2010
Autor: AT-Colt


> Berechne:
>  
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos({\bruch{\pi}{6}+ \Delta x)+cos(\bruch{\pi}{6})}}{\Delta x}[/mm]
>  
> Benutze dazu ein geeignetes Additionstheorem (ggfs. in
> einer Formelsammlung nachschlagen).
>  Zur Lösung der Aufgabe darf, falls benötigt, auch
> folgende Gleichung benutzt
>  werden:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x}[/mm] = 1
>  Irgendwie komme ich hier mit dem Umstellen nicht weiter.
>
> Erstmal habe ich das Additionstheorem angewendet.
>  
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)+sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)-cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x}[/mm]
>  
> Dann wäre es ja sinnvoll, wenn man das [mm]\Delta x[/mm] irgendwie
> isolieren könnte, nur finde ich keinen Weg dorthin.
> Die Brüche getrennt aufschreiben hat mir auch nicht
> geholfen den nächsten Schritt zu erkennen.

Du kannst aus zwei der Summanden noch etwas ausklammern, vielleicht hilft Dir das ja weiter. Du solltest dann einen Bruch mit "$0/0$" rausbekommen.
  

> Dieser Teil: [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)}{\Delta x}[/mm]
> wäre ja aufgrund des Hinweises [mm]sin(\bruch{\pi}{6}),[/mm] oder
> sehe ich das falsch?

Nein, ist richtig, exakt für die Stelle ist der Tipp gedacht.

> Darf man überhaupt den Grenzwert nur
> für einen Term ausrechnen und den Rest seperat
> weiterbehandeln?

Nur, wenn ausser dem Term, in den Du den Grenzwert reinziehst, auch der Rest konvergiert.

> Und wie kriege ich es jetzt hin, dass das [mm]\Delta x[/mm] seperat
> steht?

Was meinst Du mit seperat stehen? Du wirst es nicht hinbekommen, dass im Zähler ein [mm] $\Delta [/mm] x$ ausserhalb des Arguments auftaucht.  

Gruß,

AT-Colt

Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Do 14.01.2010
Autor: Loddar

Hallo steem!


Hier ist doch mit Sicherheit der Grenzwert [mm] $\Delta x\rightarrow\red{0}$ [/mm] gemeint, oder?!?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 15.01.2010
Autor: steem

Hi Loddar!

Oh ja da hast du wohl etwas wichtiges entdeckt. [mm] $\Delta [/mm] x$ soll tatsächlich gegen 0 gehen und nicht gegen unendlich.

Bezug
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