Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] a_n=\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n} [/mm] |
Wieso ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}) [/mm] nicht gleich 0 sondern -1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_n=\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n}[/mm]
> Wieso ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}})[/mm]
> nicht gleich 0 sondern -1?
Hallo,
die erste Umformung ist schon fehlerhaft, es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})\limes_{n\rightarrow\infty}\red{n}* (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}).
[/mm]
Erweitere [mm] \sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n} [/mm] mit [mm] \sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n} [/mm] und wende die dritte binomische Formel an.
Gruß Abakus
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})\limes_{n\rightarrow\infty}\red{n}* (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}).[/mm]
Ah, das dachte ich mir schon okey aber müsste es dann nicht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})\limes_{n\rightarrow\infty}\red{n^4}* (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}) [/mm] heißen?
> Erweitere [mm]\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n}[/mm] mit
> [mm]\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}[/mm] und wende die dritte binomische
> Formel an.
> Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
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> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})\limes_{n\rightarrow\infty}\red{n}* (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}).[/mm]
>
> Ah, das dachte ich mir schon okey aber müsste es dann
> nicht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})\limes_{n\rightarrow\infty}\red{n^4}* (\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}})[/mm]
> heißen?
Nein,
[mm] n^4=\wurzel{n^8}, [/mm] und wenn du jetzt die Gesetze der Wurzelmultiplikation anwenden würderst, entstünden viel zu hohe Potenzen unter der Wurzel.
Gruß Abakus
>
> > Erweitere [mm]\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n}[/mm] mit
> > [mm]\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}[/mm] und wende die dritte binomische
> > Formel an.
> > Gruß Abakus
> >
> >
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> Nein,
> [mm]n^4=\wurzel{n^8},[/mm] und wenn du jetzt die Gesetze der
> Wurzelmultiplikation anwenden würderst, entstünden viel
> zu hohe Potenzen unter der Wurzel.
Danke stimmt ist klar. Bin etwas durcheinander.
> > > Erweitere [mm]\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n}[/mm] mit
> > > [mm]\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}[/mm] und wende die dritte binomische
> > > Formel an.
Da hab ich aber noch eine Frage das hab ich nun gemacht:
[mm] \frac{(\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})*(\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n})}{\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}} [/mm]
Nun hab ich aber wieder das gleiche Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Di 09.02.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Sorry:
[mm] \frac{(\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})*(\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n})}{\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}} [/mm] = [mm] \frac{-2n}{\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}} [/mm]
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> > Nein,
> > [mm]n^4=\wurzel{n^8},[/mm] und wenn du jetzt die Gesetze der
> > Wurzelmultiplikation anwenden würderst, entstünden viel
> > zu hohe Potenzen unter der Wurzel.
>
> Danke stimmt ist klar. Bin etwas durcheinander.
>
> > > > Erweitere [mm]\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n}[/mm] mit
> > > > [mm]\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}[/mm] und wende die dritte binomische
> > > > Formel an.
>
> Da hab ich aber noch eine Frage das hab ich nun gemacht:
>
> [mm]\frac{(\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+n})*(\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n})}{\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}}[/mm]
im zähler steht doch [mm] (n^2-n)-(n^2+n) [/mm] und das ist gekürzt? und nun klammerst du im nenner unter der wurzel [mm] n^2 [/mm] aus, was dann ein n vor der wurzel ergibt, dann kürzen, grenzwert bilden und voila...
> = [mm]\frac{1}{\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2+n}}[/mm]
>
> Nun hab ich aber wieder das gleiche Problem.
>
gruß tee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] \wurzel{n^2-n}=n\wurzel{1-1/n}=n(1-1/(2n)+-...)
[/mm]
[mm] \wurzel{n^2+n}=n\wurzel{1+1/n}=n(1+1/(2n)-+...)
[/mm]
In "+-..." bzw. "-+..." folgt in Summe nur noch etwas was schneller als 1/n fällt. Deswegen n(-1/n+-...) = -1. Fertig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] \wurzel{n^2\pm n}=\wurzel{(n\pm\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}=(n\pm\frac{1}{2})\wurzel{1-\frac{1}{4(n\pm\frac{1}{2})^2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Ein Quadrat mit der Fläche [mm] Q_n=n^2 [/mm] hat eine Kantenlänge von n.
Nun vermehre und vermindere die Fläche um ein Rechteck mit der Fläche [mm] R_n=n [/mm] (es habe die Seitenlängen n und 1).
Zerschneide das Rechteck dazu längs der Kante mit der Länge n und hefte bzw. scheide sie oben und rechts am Quadrat an bzw. ab.
Dann entstehen Flächen [mm] A_n^+ [/mm] und [mm] A_n^-, [/mm] die sich von den Flächen zweier Quadrate [mm] Q_n^+ [/mm] und [mm] Q_n^- [/mm] mit den Seiten Längen von [mm] n+\frac{1}{2} [/mm] bzw. [mm] n-\frac{1}{2} [/mm] um [mm] \mp\frac{1}{4} [/mm] unterscheiden.
Damit ist ersichtlich, dass der Unterschied -1 wird, wenn man beachtet, dass die Seitenlängen der den [mm] A_n^+ [/mm] und [mm] A_n^- [/mm] exakt flächengleichen [mm] Q'_{n}^{+} [/mm] und [mm] Q'_{n}^{- } [/mm] dadurch entstehen, dass das konstante(!) Fehlerquadrat [mm] \mp\frac{1}{4} [/mm] der [mm] Q_n^+ [/mm] und [mm] Q_n^- [/mm] entlang zweier Seiten (der Größenordnung n) zusätzlich verteilt oder abgetragen wird.
Mit wachsendem n wird dadurch die benötige Seitenlängenkorrektur von [mm] n+\frac{1}{2} [/mm] bzw. [mm] n-\frac{1}{2} [/mm] immer kleiner.
:)
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