Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | [mm]x_n_+_1=\frac{3x_n^4-4x_n^2+5}{4x_n^3-8x_n}[/mm] mit [mm]x_1=2[/mm] und ohne Beweis darf ich annehmen [mm]x_n \ge 2[/mm] |
Ansatz: [mm]S=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n_+_1[/mm]
Rechnung: [mm]\Rightarrow S=\frac{3s^4-4s^2+5}{4s^3-8s}
\Rightarrow s^4-4s^2-5=0
\Rightarrow t^2-4t-5=0
\Rightarrow t_1_/_2=\frac{4\pm\wurzel{16+20}}{2}
\Rightarrow t_1=5 \vee t_2=-1
\Rightarrow s_1=\wurzel{5} \vee -\wurzel{5}[/mm]
Das Ergebnis jedoch ist [mm] x_2=2.3125
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
> [mm]x_n_+_1=\frac{3x_n^4-4x_n^2+5}{4x_n^3-8x_n}[/mm] mit [mm]x_1=2[/mm] und
> ohne Beweis darf ich annehmen [mm]x_n \ge 2[/mm]
> Ansatz:
> [mm]s=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n_+_1[/mm]
>
> Rechnung: [mm]\Rightarrow s=\frac{3s^4-4s^2+5}{4s^3-8s}
\Rightarrow s^4-4s^2-5=0
\Rightarrow t^2-4t-5=0
\Rightarrow t_1_/_2=\frac{4\pm\wurzel{16+20}}{2}
\Rightarrow t_1=5 \vee t_2=-1
\Rightarrow s_1=\wurzel{5} \vee -\wurzel{5}[/mm]
>
> Das Ergebnis jedoch ist [mm]x_2=2.3125[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht?
>
Wo ist das Problem? Du hast herausgefunden [mm] x_n\to\sqrt{5}, n\to\infty.
[/mm]
Abgesehen davon, dass du den Beweis noch etwas ausformulieren könntest (Substitution [mm] s^2=t, [/mm] ...), ist alles in Ordnung.
[mm] x_2 [/mm] muss ja noch lange nicht der Grenzwert sein 
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 10.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^n}\left(\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+7}\right)
[/mm]
[mm] \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^n}\bruch{5}{n^2+9n+14} [/mm] |
Nun weiß ich nicht mehr weiter, ich möchte gern den Grenzwert bestimmen.
Wie kann ich dden Exponenten N wegkreigen?
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Hallo gotoxy,
diese Aufgabe hat mit der letzten doch nichts zu tun. Mach für neue Aufgaben lieber auch einen neuen Thread auf, bitte.
Hier ist folgendes zu tun:
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> [mm]\bruch{n^{n+2}}{(n+1)^n}\left(\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+7}\right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{n^{n+2}}{(n+1)^n}\bruch{5}{n^2+9n+14}[/mm]
>
>
> Nun weiß ich nicht mehr weiter, ich möchte gern den
> Grenzwert bestimmen.
>
>
> Wie kann ich dden Exponenten N wegkreigen?
Es ist [mm] \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^n}\bruch{5}{n^2+9n+14}=\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n*\bruch{5n^2}{n^2+9n+14}=\left(1+\bruch{-1}{n}\right)^n*\cdots
[/mm]
Damit solltest Du den Grenzwert [mm] \tfrac{5}{e} [/mm] eigentlich leicht finden.
Grüße
reverend
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