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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 So 20.03.2011
Autor: racy90

Hallo,

Ich soll untersuchen ob die Folge  [mm] an=\wurzel{n}(\wurzel{2n+3}-\wurzel{2n}) [/mm] einen Grenzwert besitzt und wenn ja soll ich diesen berechnen

Nun hab ich durch langes Ausprobieren herausgefunden das sich die Folge den Wert 1,060660.. annähert oder in anderer Form [mm] \bruch{3}{2\wurzel{2}} [/mm] (wolfram alpha) ist.

Doch wie seh ich es einfacher ohne langes herumprobieren das die Folge den Grenzwert von [mm] \bruch{3}{2\wurzel{2}} [/mm] hat??

        
Bezug
Grenzwert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 20.03.2011
Autor: Leopold_Gast

Die meisten dieser Grenzwertaufgaben mit Wurzelsubtraktionen laufen auf denselben Trick hinaus:

[mm]\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}[/mm]

Mittels dritter binomischer Formel verschwinden die Wurzeln im Zähler, und in den Nenner kommt etwas, was gegen unendlich strebt. Versuche es selbst einmal.

Bezug
        
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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 So 20.03.2011
Autor: racy90

Wenn ich das mit dem inneren Ausruck [mm] (\wurzel{2n+3}-\wurzel{2n}) [/mm] mache komme ich auf [mm] \bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}} [/mm]

jetzt hab ich den Audruck mal [mm] \wurzel{n} [/mm]

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Grenzwert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 20.03.2011
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich das mit dem inneren Ausruck
> [mm](\wurzel{2n+3}-\wurzel{2n})[/mm] mache komme ich auf
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}}[/mm]

[ok]
  

> jetzt hab ich den Audruck mal [mm]\wurzel{n}[/mm]  

Jap.
Im Nenner [mm] \sqrt{n} [/mm] ausklammern und kürzen. Für die Summanden im Nenner dann ausnutzen, dass [mm] \bruch{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{a}{b}}$ [/mm] und dann [mm] $n\to \infty$. [/mm]

MFG,
Gono.


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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 So 20.03.2011
Autor: racy90

mhmm ich komme irgendwie nicht dahin wo ich möchte.

[mm] \wurzel{n}*\bruch{3}{\wurzel{n}(\wurzel{2+3}+\wurzel{2})} [/mm]


[mm] \wurzel{n} [/mm] kürz ich dann aber dann hab ich [mm] stehen\bruch{3}{\wurzel{5}+\wurzel{2}} [/mm]


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Grenzwert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 So 20.03.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> mhmm ich komme irgendwie nicht dahin wo ich möchte.
>  
> [mm]\wurzel{n}*\bruch{3}{\wurzel{n}(\wurzel{2+3}+\wurzel{2})}[/mm]

> [mm]\wurzel{n}[/mm] kürz ich dann aber dann hab ich
> [mm]stehen\bruch{3}{\wurzel{5}+\wurzel{2}}[/mm]

Wie kommst du auf [mm] \sqrt{5} [/mm] ? Ich komm da auf [mm] \sqrt{2} [/mm]
Schaus dir nochmal an und nicht aus Summen kürzen!

MFG,
Gono.  


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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 So 20.03.2011
Autor: racy90

Okay
[mm] \bruch{3}{\wurzel{2}+3+\wurzel{2}} [/mm]

also kann ich das schreiben als [mm] \bruch{3}{3}*\bruch{3}{\wurzel{2}+\wurzel{2}}? [/mm]

Bezug
                                                
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Grenzwert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 So 20.03.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> Okay
>  [mm]\bruch{3}{\wurzel{2}+3+\wurzel{2}}[/mm]

Nein!
Nicht raten, rechnen!

Es gilt doch: [mm] \bruch{\sqrt{2n + 3}}{\sqrt{n}} [/mm] = [mm] \sqrt{2 + \bruch{3}{n}} \to \sqrt{2}, n\to\infty$ [/mm]

Und nun nochmal.....

MFG,
Gono.

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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 So 20.03.2011
Autor: racy90

jetzt versteh ich es nicht mehr

ich sollte aus dem [mm] \bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}} [/mm]                  


[mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern und dann kürzen

Nach dem kürzen sollte dann etwa sowas dastehen [mm] \bruch{3}{{\wurzel{2+3}+\wurzel{2}}} [/mm]
was mit den 3er passiert weiß ich nicht


Bezug
                                
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Grenzwert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 So 20.03.2011
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> jetzt versteh ich es nicht mehr
>  
> ich sollte aus dem [mm]\bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}}[/mm]    
>              
>
>
> [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammern und dann kürzen


Zuvor musst den Ausdruck noch mit [mm]\wurzel{n}[/mm] multiplizieren.

Dann kannst Du kürzen.


>  
> Nach dem kürzen sollte dann etwa sowas dastehen
> [mm]\bruch{3}{{\wurzel{2+3}+\wurzel{2}}}[/mm]


Es soll dann da stehen:

[mm]\bruch{3}{{\wurzel{2+\red{\bruch{3}{n}}}+\wurzel{2}}}[/mm]

Lasse jetzt [mm]n \to \infty[/mm] streben.


>   was mit den 3er passiert weiß ich nicht

>


Die 3 bleibt stehen.


Gruss
MathePower  

Bezug
                                        
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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 20.03.2011
Autor: racy90

d.h wenn n extrem groß wird kann man es im ausdruck vernachlässigen und es steht dann  dort [mm] \bruch{3}{2\wurzel{2}} [/mm] ??

Bezug
                                                
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Grenzwert?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 So 20.03.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> d.h wenn n extrem groß wird kann man es im ausdruck
> vernachlässigen und es steht dann  dort
> [mm]\bruch{3}{2\wurzel{2}}[/mm] ??

Ja und nein!
Du berechnest doch einen Grenzwert und es gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{3}{n} [/mm] = 0$, d.h. es ist nicht "extrem groß" und es wird nichts "vernachlässigt".

Aber ja, als Grenzwert steht dann dort [mm] $\bruch{3}{2\wurzel{2}}$ [/mm]

MFG,
Gono.

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Grenzwert?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 So 20.03.2011
Autor: racy90

Okay danke

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