Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Sa 02.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Grenzwert von: [mm] $\frac{n!}{n^n}$ [/mm] |
Mein Lösungsansatz:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}} \cdot n! \right) [/mm] = ...$
Darf man hier nun während der Grenzbetrachtung sagen, dass das [mm] $\frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}}$ [/mm] gegen 0 geht [mm] ($\infty \cdot ln(\infty)$ [/mm] ist ja quasi wieder [mm] $\infty$) [/mm] und das ranmultiplizierte $n!$ auch nichts mehr ändert wodurch folgt, dass der Grenzwert gegen 0 geht?
Stimmt das so?
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> Grenzwert von: [mm]\frac{n!}{n^n}[/mm]
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> Mein Lösungsansatz:
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> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}} \cdot n! \right) = ...[/mm]
>
> Darf man hier nun während der Grenzbetrachtung sagen, dass
> das [mm]\frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}}[/mm] gegen 0 geht ([mm]\infty \cdot ln(\infty)[/mm]
> ist ja quasi wieder [mm]\infty[/mm]) und das ranmultiplizierte [mm]n![/mm]
> auch nichts mehr ändert wodurch folgt, dass der Grenzwert
> gegen 0 geht?
>
> Stimmt das so?
das kannst du so nicht lösen, da du nichts gewinnst, indem du das n ausmultiplizierst. Es steht immer noch als Argument im Ausdruck des limes und damit gilt nach wie vor n gegen [mm] \infty [/mm] und damit geht zwar der Nenner gegen [mm] \infty [/mm] und der Bruch gegen 0, der Zähler aber nach wie vor gegen [mm] \infty. [/mm]
Im Grunde sollst du nur zeigen, dass jede Fakultät langsamer wächst als die entsprechende Potenz.
Man könnte z.B. sagen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n}{n}$
[/mm]
Da ja gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n*b_n)=a*b$, [/mm] kannst du folglich jeden Bruch einzeln betrachten, wodurch sich n-1 mal 0 und ein mal 1 ergibt.
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Hallo,
> > Grenzwert von: [mm]\frac{n!}{n^n}[/mm]
> >
> > Mein Lösungsansatz:
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> > [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}} \cdot n! \right) = ...[/mm]
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> > Darf man hier nun während der Grenzbetrachtung sagen, dass
> > das [mm]\frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}}[/mm] gegen 0 geht ([mm]\infty \cdot ln(\infty)[/mm]
> > ist ja quasi wieder [mm]\infty[/mm]) und das ranmultiplizierte [mm]n![/mm]
> > auch nichts mehr ändert wodurch folgt, dass der Grenzwert
> > gegen 0 geht?
> >
> > Stimmt das so?
>
> das kannst du so nicht lösen, da du nichts gewinnst, indem
> du das n ausmultiplizierst. Es steht immer noch als
> Argument im Ausdruck des limes und damit gilt nach wie vor
> n gegen [mm]\infty[/mm] und damit geht zwar der Nenner gegen [mm]\infty[/mm]
> und der Bruch gegen 0, der Zähler aber nach wie vor gegen
> [mm]\infty.[/mm]
>
> Im Grunde sollst du nur zeigen, dass jede Fakultät
> langsamer wächst als die entsprechende Potenz.
>
> Man könnte z.B. sagen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n}{n}[/mm]
>
> Da ja gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n*b_n)=a*b[/mm], kannst du
> folglich jeden Bruch einzeln betrachten, wodurch sich n-1
> mal 0 und ein mal 1 ergibt.
Na, das stimmt zwar im Endergbnis, aber die Begründung ist komisch ...
Für den vorletzten Faktor gilt [mm]\frac{n-1}{n}=\frac{n\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)}{n}=1-\frac{1}{n}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Und für den vorvorletzten?
Und den davor?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 So 03.04.2011 | | Autor: | Adamantin |
Völlig zu recht, meine Erklärung war nur schnell dahingeschustert, um das Grundprinzip zu zeigen. Das lustige ist ja:
> Für den vorletzten Faktor gilt
> [mm]\frac{n-1}{n}=\frac{n\cdot{}\left(1-\frac{1}{n}\right)}{n}=1-\frac{1}{n}\longrightarrow 1[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm]
Von hinten begoinnen sind alle Grenzwerte 1. Von vorne begonnen sind alle Grenzwerte 0. Irgendwo wandelt sich also dieses Verhalten...
Die korrekte Erklärung laut meines Skriptes wäre z.B. auch gewesen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n}*...*\bruch{1}{n}$ [/mm] mit [mm] $\bruch{k}{n}<1$ [/mm] für k = 2,...,n-1
Damit folgt, dass alle Brüche zwischen [mm] \bruch{n}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] durch die Majorante 1 ersetzt werden können, damit folgt:
0 < [mm] a_n [/mm] < [mm] 1^{n-2}*\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 0 und [mm] a_n \to [/mm] 0 für n [mm] \to\infty
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Grenzwert von: [mm]\frac{n!}{n^n}[/mm]
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> Mein Lösungsansatz:
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> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}} \cdot n! \right) = ...[/mm]
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> Darf man hier nun während der Grenzbetrachtung sagen, dass
> das [mm]\frac{1}{e^{n \cdot ln(n)}}[/mm] gegen 0 geht ([mm]\infty \cdot ln(\infty)[/mm]
> ist ja quasi wieder [mm]\infty[/mm]) und das ranmultiplizierte [mm]n![/mm]
> auch nichts mehr ändert wodurch folgt, dass der Grenzwert
> gegen 0 geht?
>
> Stimmt das so?
Nein, siehe andere Antwort.
Ich würde hier mit dem Sandwichlemma arbeiten ...
Es ist klar, dass 0 eine untere Schranke ist.
Für eine Ablschätzung nach oben betrachte zunächst mal gerades [mm]n[/mm]:
[mm]\frac{n!}{n^n}=\frac{\red{1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}\frac{n}{2}}\cdot{}\blue{\left(\frac{n}{2}+1\right)\cdot{}\ldots n}}{n^n}\le\frac{\red{\frac{n}{2}\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}\ldots\cdot{}\frac{n}{2}}\cdot{}\blue{n\cdot{}n\cdot{}\ldots\cdot{}n}}{n^n}=\frac{1}{n^n}\cdot{}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\cdot{}n^{\frac{n}{2}}=\ldots=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n[/mm]
Also [mm] $0\le\frac{n!}{n^n}\le\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$
[/mm]
Was sagt nun das Sandwich-Lemma?
Für $n$ ungerade finde du nun mal eine ganz ähnliche Abschätzung!
Gruß
schachuzipus
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