Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne gegebenfalls den Grenzwert und untersuche auf Konvergenz:
[mm] \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm] Folge |
Ich hab leider keine ahnung wie ich den limes der folge berechne?
lim [mm] \frac{2^{n-1}}{2^n-1}
[/mm]
sonst dividiere ich durch die höchste Potenz!
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
> Berechne gegebenfalls den Grenzwert und untersuche auf
> Konvergenz:
> [mm]\frac{2^{n-1}}{2^n-1}[/mm] Folge
> Ich hab leider keine ahnung wie ich den limes der folge
> berechne?
> lim [mm]\frac{2^{n-1}}{2^n-1}[/mm]
>
Klammere hier im Zähler und Nenner den Faktor [mm]2^{n-1}[/mm] aus
und lass [mm]n \to \infty[/mm] laufen.
> sonst dividiere ich durch die höchste Potenz!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wie soll ich das im Nenner machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
[mm] 2^{n-1}/2^{n-1} [/mm] * [mm] [1/(2^{n}/2^{n-1}-1/2^{n-1})]
[/mm]
Wenn du dir nun überlegst, wie du [mm] 2^{n} [/mm] "besser" darstellen kannst oder genauer über [mm] 2^{n-1} [/mm] ausdrücken kannst, bist du so gut wie fertig.
MFG
|
|
|
| |
|
wie kommst du denn auf den Teil:
[mm] \frac{2^{n}}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}
[/mm]
??
dass soll ja mal [mm] 2^{n-1} [/mm] ergeben= [mm] 2^n [/mm] - 1
aber wie kommst du auf das? welche rechnung führst du durch?
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
> wie kommst du denn auf den Teil:
> [mm]\frac{2^{n}}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}[/mm]??
Im Nenner steht [mm]2^n-1[/mm]
Hier multiplizieren wir mit [mm]1=\red{\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}}[/mm]:
[mm]2^n-1=\red{\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}}\cdot{}\left(2^n-1\right)=\red{2^{n-1}}\cdot{}\left(\frac{2^n-1}{\red{2^{n-1}}}\right)[/mm]
Nun elementare Bruchrechnung aus der Unterstufe:
[mm]\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}[/mm]
[mm]...=2^{n-1}\cdot{}\left(\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}\right)[/mm]
Soweit der Nenner ...
> dass soll ja mal [mm]2^{n-1}[/mm] ergeben= [mm]2^n[/mm] - 1
> aber wie kommst du auf das? welche rechnung führst du
> durch?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
danke für die ausführliche antwort.
Vlt dumme frage: aber haben wir das genze nicht soeben noch komplizierter gemacht=?
[mm] \frac{2^{n-1}}{2^{n-1}} [/mm] * [mm] \frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> danke für die ausführliche antwort.
> Vlt dumme frage: aber haben wir das genze nicht soeben
> noch komplizierter gemacht=?
Nur scheinbar! Vereinfache nun ...
>
> [mm]\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}[/mm] * [mm]\frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}}[/mm]
Der erste Faktor ist 1, was steht im ersten Summanden im Nenner?
Danach (!) [mm]n\to\infty[/mm] gehen lassen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
=$ [mm] \frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $
SUmmand? Wo ist da eine SUmme?
*verdutzt*
meinst [mm] \frac{2^n}{2^{n-1}} [/mm]
´??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> =[mm] \frac{1}{\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}}[/mm]
>
> SUmmand? Wo ist da eine SUmme?
> *verdutzt*
Im Nenner des Doppelbruchs steht eine Differenz (Summe) von 2 Brüchen.
Den ersten meine ich
> meinst [mm]\frac{2^n}{2^{n-1}}[/mm]
> ´??
Genau den!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
dann hätte ich $ [mm] \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $
Falsch oder=?
dachte [mm] 2^{n-1}=2^n [/mm] * 1/2
1/ 1/2= 2
Aber da ist ja noch immer ein hoch n-1, wie bilde ich den grenzwert davon=?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
$ [mm] \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $ Ist richtig
Wenn du jetzt für n unendlich große zahlen einsetzt, was passiert dann mit dem ergebnis, gegen welche zahl konvergiert [mm] 1/2^{n-1}?
[/mm]
Und was folgt daraus für das ergebnis?
|
|
|
| |
|
lim 1/ [mm] 2^n-1 [/mm] = 1/ [mm] \infty [/mm] = 0
n -> [mm] \infty
[/mm]
lim [mm] \frac{1}{\frac{1}{2}-0} [/mm] = 2
Grenzwert 2?
2.schritt: Kovergenz berechnen!
[mm] |a_{n+1}-2|=|$ \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm] $ -2 |= [mm] |\frac{2^{n-1}}{2^n-1}- \frac{2^{n+1}-2}{2^n-1}| [/mm] = | [mm] \frac{2^{n-1}-2^{n+1}-2}{2^n-1}| [/mm]
Wie mach ich weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Der erste Schritt ist Richtig [mm] 1/2^{n-1} [/mm] ist 0 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}.
[/mm]
dan steht dort 1/2-0 also 1/2.
Das ist der grenzwert der Folge du bist fertig an der stelle.
|
|
|
| |
|
$ [mm] \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}} [/mm] $
$ [mm] \frac{1}{2-0} [/mm] $ = 1/2
Konvergenz muss noch bestimmt werden also nicht fertig ;)
[mm] |a_{n+1}-1/2|=| \frac{2^{n-1}}{2^n-1} [/mm] -1/2| = [mm] |\frac{2^{n}}{2*(2^n-1)}- \frac{ -(2^n-1)}{2*(2^n-1)}| [/mm] = [mm] |\frac{1}{2*(2^n-1)}|=|\frac{1}{2^{n+1}-2)}|
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
In dem moment wo du den Grenzwert der Folge eindeutig als 1/2 bestimmen kannst Konvergiert die folge zwangsläufig, weil du sonst keinen Grenzwert hättest angeben können.
Wenn du die konvergenz ohne den grenzwert zu benutzen beweisen willst, sei auf Cauchy verweisen:
Cauchy-Folgen sind alle konvergent und eine Cauchy-folge ist eine folge, für die gilt:
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] N_{0} \in \IN [/mm] ,so dass gilt
[mm] |a_{m}-a_{N_{0}}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mit m [mm] >N_{0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Angabe: Untersuche die Folge auf Konvergenz.
Ich kann doch das auch mit der definition der Konvergenz machen indem ich ein geeignetes [mm] N(\varepsilon) [/mm] angebe. (ich soll ja nicht überprüfen ob es sich um eine Cauchyfolge handelt)
-> letzte Post (genaue Schritte)
[mm] |a_{n+1}-1/2|=|\frac{1}{2^{n+1}-2}| =\frac{1}{2^{n+1}-2}
[/mm]
Ich hoffe ich hab mich nicht vollkommen ganz verrechnet ;(
Wie muss ich noch abschätzen
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
in Deinem Rechenweg war noch ein "minus" zuviel, aber das Ergebnis ist (wegen des Betrags) trotzdem richtig.
> Angabe: Untersuche die Folge auf Konvergenz.
> Ich kann doch das auch mit der definition der Konvergenz
> machen indem ich ein geeignetes [mm]N(\varepsilon)[/mm] angebe.
> (ich soll ja nicht überprüfen ob es sich um eine
> Cauchyfolge handelt)
Nochmal: wenn Du einen Grenzwert bestimmen kannst, ist die Folge automatisch auch konvergent!
> -> letzte Post (genaue Schritte)
> [mm]|a_{n+1}-1/2|=|\frac{1}{2^{n+1}-2}| =\frac{1}{2^{n+1}-2}[/mm]
>
> Ich hoffe ich hab mich nicht vollkommen ganz verrechnet ;(
> Wie muss ich noch abschätzen
Was willst Du denn hier noch abschätzen? Die Differenz geht doch für [mm] n\to\infty [/mm] eindeutig gegen Null!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
[mm] \forall \varepsilon \exists N(\varepsilon):\forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon) [/mm] : [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
so ich mache es mal weiter wie wir es sonst in die übungen gemacht haben bei tutor
[mm] \frac{1}{2^{n+1}-2} [/mm] < [mm] \frac{1}{2^{N+1}-2} [/mm] := [mm] \varepsilon
[/mm]
n > N
wie bringe ich es nun noch auf
[mm] N(\varepsilon) [/mm] =
Muss ich logarithmieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
jo um das [mm] N(\varepsilon) [/mm] abzuschätzen musste jetzt einfach nach N umformen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:37 Fr 18.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Im logarithmieren war ich nie gut!
log $ [mm] \frac{1}{2^{N+1}-2} [/mm] $= log [mm] \varepsilon
[/mm]
log{1}- log [mm] {2^{N+1}-2} [/mm] =log [mm] \varepsilon
[/mm]
log{1}- ({N+1})log {2-2} =log [mm] \varepsilon
[/mm]
-N= (log [mm] \varepsilon [/mm] - log 1)/ log (0) +1
was mache ich log 0 ist nicht definiert!
und muss ich wenn ich mit -1 multipliziere vor jeden log ein minus geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\forall \varepsilon \exists N(\varepsilon):\forall[/mm] n >
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] : [mm]|a_n-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> so ich mache es mal weiter wie wir es sonst in die
> übungen gemacht haben bei tutor
> [mm]\frac{1}{2^{n+1}-2}[/mm] < [mm]\frac{1}{2^{N+1}-2}[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm]
Das ist doch Quatsch !!! Du kannst doch nicht [mm] \varepsilon [/mm] einfach so setzen.
Die Prozedur ist folgende: es wird ein [mm] \varepsilon> [/mm] 0 vorgegeben. Dann muß man dazu ein N [mm] \in \IN [/mm] bestimmen, so dass gilt:
[mm] |a_n-a|< \varepsilon [/mm] für n> N.
FRED
> n > N
>
> wie bringe ich es nun noch auf
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] =
> Muss ich logarithmieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:15 Fr 18.11.2011 | | Autor: | theresetom |
ich hatte das früher auch so gemacht, aber die Tutorin macht es nunmal so. Und ich bin mir sicher, dass sie es richtig macht.
$ [mm] \frac{1}{2^{n+1}-2} [/mm] $ < [mm] \varepsilon
[/mm]
Trotzdem muss ich es jetzt auf n bringen und das habe ich im Vorpost versucht, kannst du mir da helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Fr 18.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Ich habe es schon geschafft!
|
|
|
|
