Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] zwei Folgen strikt positiver reeller Zahlen mit
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=0.$ [/mm]
Man zeige:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a^2_n + b^2_n}{a_n + b_n}=0.$ [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Lösung für diese Aufgabe, allerdings kommt Sie mir viel zu einfach vor und das ist nur zu oft Zeichen, dass ich was vergessen habe. Daher wäre es schön, wenn jemand mal sagen könnte, ob die Lösung so stimmt, oder ob ich da anders argumentieren muss.
Meine Lösung ist Folgende:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n^2}{a_n+b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2}{a_n*(1+\frac{b_n}{a_n})}+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n^2}{b_n*(1+\frac{a_n}{b_n})}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}}+\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\frac{0}{1+0}+\frac{0}{1+0}=0$
[/mm]
Vielen Dank!
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> Es seien [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] zwei Folgen
> strikt positiver reeller Zahlen mit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=0.[/mm]
>
> Man zeige:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a^2_n + b^2_n}{a_n + b_n}=0.[/mm]
>
> Meine Lösung ist Folgende:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n^2}{a_n+b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2}{a_n*(1+\frac{b_n}{a_n})}+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n^2}{b_n*(1+\frac{a_n}{b_n})}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}}+\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\frac{0}{1+0}+\frac{0}{1+0}=0[/mm]
Hallo,
Du verwendest, daß [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{a_n}{b_n}=0 [/mm] bzw. [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{b_n}{a_n}=0. [/mm] Das stimmt jedoch nicht unbedingt.
LG Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für Deinen Hinweis. Mein Argument dafür, dass hier [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=0$ [/mm] und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}=0$ [/mm] wäre, dass in der Aufgabenstellung (a) alle [mm] $a_n, b_n$ [/mm] positive reelle Zahlen sind und (b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}$ [/mm] und dann müsste in beiden Fällen der Grenzwert doch $0$ sein (nach dem Grenzwertsatz für Quotienten)?
Viele Grüße
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> Hallo Angela,
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> vielen Dank für Deinen Hinweis. Mein Argument dafür, dass
> hier [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=0[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}=0[/mm] wäre, dass in
> der Aufgabenstellung (a) alle [mm]a_n, b_n[/mm] positive reelle
> Zahlen sind
Hallo,
was sagst Du zu
[mm] a_n:=\bruch{1}{n}, b_n:=\bruch{1}{n^2},
[/mm]
oder zu
[mm] a_n:=\bruch{1}{n},b_n:=\bruch{1}{n}?
[/mm]
> und (b)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}[/mm]
> und dann müsste in beiden Fällen der Grenzwert doch [mm]0[/mm]
> sein (nach dem Grenzwertsatz für Quotienten)?
Wie lautet der? (Mit Vorwort!)
LG Angela
>
> Viele Grüße
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Als Grenzwert für
[mm] $\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}}+\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}}=\frac{0}{1+0}+\frac{0}{1+0}=0$
[/mm]
Was ich nicht machen darf, ist den Limes unter dem Bruchstrich aufzulösen, oder? Ansonsten müsste es gelten. Ansonsten hab ich keine Idee für ein gutes Argument. Hat jemand einen Vorschlag?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Di 14.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Warum stellst du eine leere Frage ein? Was genau ist denn noch unkalr?
Marius
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Hallo nochmal,
ich antworte mal auf die ursprüngliche Frage, die Du jetzt - mir unverständlicherweise - gelöscht hast.
Es reicht, folgendes zu zeigen:
[mm] \bruch{a_n}{1+\bruch{b_n}{a_n}}
Das solltest Du hinkriegen.
Damit kannst Du dann die ursprüngliche Behauptung beweisen.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ich habe das fälscherlicherweise gepostet und wollte es wieder löschen, damit nicht unnötig Arbeit ensteht. In jedem Fall tut es mir leid.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Di 14.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo lord.garbage,
selbst wenn einer der beiden Grenzwerte [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{a_n}{b_n} [/mm] oder [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{b_n}{a_n} [/mm] Null sein sollte, so kann es der jeweils andere ja garantiert nicht sein.
Anders gesagt: nicht beide zugleich können Null werden.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:52 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] zwei Folgen
> strikt positiver reeller Zahlen mit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=0.[/mm]
>
> Man zeige:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a^2_n + b^2_n}{a_n + b_n}=0.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe eine Lösung für diese Aufgabe, allerdings kommt
> Sie mir viel zu einfach vor und das ist nur zu oft Zeichen,
> dass ich was vergessen habe. Daher wäre es schön, wenn
> jemand mal sagen könnte, ob die Lösung so stimmt, oder ob
> ich da anders argumentieren muss.
>
> Meine Lösung ist Folgende:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2}{a_n+b_n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n^2}{a_n+b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2}{a_n*(1+\frac{b_n}{a_n})}+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n^2}{b_n*(1+\frac{a_n}{b_n})}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}}+\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}}=\frac{0}{1+0}+\frac{0}{1+0}=0[/mm]
>
> Vielen Dank!
Da [mm] a_n, b_n [/mm] > 0:
[mm] a_n^2+b_n^2 \le (a_n+b_n)^2
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
danke für den Hinweis. Meine Argumentation muss also lauten:
[mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_n+b_n)^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0$ [/mm] Und kleiner als $0$ kann [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}$ [/mm] nicht werden, da alle Folgenglieder positive reelle Zahlen sind. Ist die Argumentation so korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für den Hinweis. Meine Argumentation muss also
> lauten:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_n+b_n)^2}{a_n+b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0[/mm]
Das erste [mm] \le [/mm] kannst Du erst schreiben, wenn Dir bekannt ist, dass der Limes existiert !
> Und kleiner als [mm]0[/mm] kann
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}[/mm] nicht
> werden, da alle Folgenglieder positive reelle Zahlen sind.
> Ist die Argumentation so korrekt?
Schreib es so auf:
0 [mm] \le \frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le a_n+b_n=:c_n [/mm] für alle n.
[mm] (c_n) [/mm] ist eine Nullfolge, also auch [mm] (\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n})
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
das mag jetzt vllt. etwas banal klingen, aber wie zeige ich die Existenz des Limes für: [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}$
[/mm]
Das ist das erste Übungsblatt, dass wir hierzu machen. Wir haben nur die Grenzwertsätze behandelt bisher.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> das mag jetzt vllt. etwas banal klingen, aber wie zeige ich
> die Existenz des Limes für:
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}[/mm]
So:
0 $ [mm] \le \frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}\le a_n+b_n=:c_n [/mm] $ für alle n.
$ [mm] (c_n) [/mm] $ ist eine Nullfolge, also auch $ [mm] (\frac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n}) [/mm] $
FRED
>
> Das ist das erste Übungsblatt, dass wir hierzu machen. Wir
> haben nur die Grenzwertsätze behandelt bisher.
>
> Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Di 14.05.2013 | | Autor: | ulucay |
Hi, an sich stimmt das schon nur deine Notation bzw, Darstellung finde ich nicht ganz ok. Forme zuerst um schreib danach die letzte Umformung mit limes und lim [mm] a_{n}/b_{n} [/mm] ist nicht unbedingt Null. Sei dazu [mm] a_{n}=1/n [/mm] und [mm] b_{n}=1/n^2. [/mm] Deine Umformung stimmt aber.
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