Grenzwert Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 31.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Konvergiert die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] gegen [mm] a\in\IR [/mm] mit a < c, so gibt es ein [mm] n_0\in\IN [/mm] mit: [mm] a_n [/mm] < [mm] c\forall [/mm] n > [mm] n_0. [/mm] |
Folgendes Problem:
Ich habe mir gedacht "eigentlich ganz einfach" ... eine kovergente Folge hat als Eigenschaft, dass unendlich viele Folgeglieder ab einem bestimmten [mm] n_0 [/mm] in einer beliebig kleinen [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um den Grenzwert liegen. Also sein nun [mm] c:=a+3\varepsilon [/mm] und dann:
[mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] (Konvergenzkriterium für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0)
[mm] \gdw |a_n-a|+\varepsilon [/mm] < [mm] 2\varepsilon
[/mm]
hier habe ich dann mein erstes problem ... ich kann den Betrag ja nur weglassen wenn sich die Folge von oben an den grenzwert annähert => Fallungerscheidung
1.Fall [mm] (a_n-a)\ge [/mm] 0:
[mm] \gdw a_n-a+\varepsilon [/mm] < [mm] 2\varepsilon [/mm]
[mm] \gdw a_n [/mm] < [mm] 3\varepsilon [/mm] +a
[mm] \gdw a_n [/mm] < c (eben für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] für die [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] gilt)
2.Fall [mm] (a_n-a)< [/mm] 0:
[mm] \gdw -a_n+a+\varepsilon [/mm] < [mm] 2\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw -a_n+a+\varepsilon [/mm] < [mm] 2\varepsilon
[/mm]
und hier hänge ich dann... mir ist auch aufgefallen, dass das ja nichtmehr passt sobald a negativ ist ... was mache ich da?
Ich habe diese Frage auf keinem andern Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie:
> Konvergiert die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen [mm]a\in\IR[/mm] mit a
> < c, so gibt es ein [mm]n_0\in\IN[/mm] mit: [mm]a_n[/mm] < [mm]c\forall[/mm] n > [mm]n_0.[/mm]
> Folgendes Problem:
> Ich habe mir gedacht "eigentlich ganz einfach" ... eine
> kovergente Folge hat als Eigenschaft, dass unendlich viele
> Folgeglieder ab einem bestimmten [mm]n_0[/mm] in einer beliebig
> kleinen [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] um den Grenzwert liegen.
Hallo,
genau.
> Also
> sein nun [mm]c:=a+3\varepsilon[/mm]
Du definierst hier c.
Das geht nicht.
Dieses c ist Dir vorgegeben, es gehört zu den Voraussetzungen Deines Beweises. Du kannst es nicht mehr definieren.
Was hast Du? Eine gegen a konvergierende Folge [mm] (a_n), [/mm] und ein c, von welchem Du weißt, daß es größer ist als a.
Es geht nun darum, daß ab einem bestimmten Index [mm] n_0 [/mm] alle Folgenglieder kleiner sind als dieses c.
Mal Dir nun mal auf einem Zahlenstrahl a und c>a auf.
Du weißt, daß Du für jedes [mm] \varepsilon [/mm] einen Index findest, so daß alle drauffolgenden Folgenglieder in der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung um a liegen.
Wählst Du jetzt Dein [mm] \varepsilon [/mm] klein genug, sind alle Folgenglieder ab dem Schwellenindex "weit" von c entfernt.
Wie könntest Du dein [mm] \varepsilon [/mm] wählen? Hast Du eine Idee?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 31.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
Kann ich dann sagen [mm] \varepsilon [/mm] sei < c-a? Das wäre ja dann genau der "Abstand" von c und a ... und wenn ich dann den dazugehörigen Schwellenindex nehme wären alle Folgeglieder die "später" kommen <c
Geht das?
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Genau so macht man das 
Wähle [mm] \varepsilon [/mm] < c-a und der Rest ergibt sich von selbst 
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> Kann ich dann sagen [mm]\varepsilon[/mm] sei < c-a?
Hallo,
ich würde richtig Nägel mit Köpfen machen, und sogar ganz konkret ein [mm] \varepsilon [/mm] angeben, z.B. [mm] \varepsilon=\bruch{c-a}{2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Dann sage ich also:
Sei [mm] \varepsilon:=\bruch{c-a}{2}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \exists n_0\in\IN,\forall n>n_0:|a_n-a|<\bruch{c-a}{2}
[/mm]
Dann kann ich umrechnen:
[mm] \begin{matrix}
|a_n-a|<\bruch{c-a}{2} & |*2 \\
\ 2|a_n-a|
Jetzt muss ich ja eine Fallunterscheidung machen:
1.Fall [mm] (a_n-a)\ge [/mm] 0:
[mm] \begin{matrix}
2a_n-2a+a
Und jetzt???
2.Fall [mm] (a_n-a)<0:
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
-2a_n+2a+a
Und jetzt???
Ich finde nix wie ich das weiter auflösen könnte.
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Ich zeig dir mal den ersten Fall, den zweiten schaffst dann vllt. alleine:
[mm]2a_n - a < c [/mm]
[mm]2a_n < c+a[/mm]
[mm]a_n < \bruch{c+a}{2}[/mm]
und es gilt da a<c:
[mm]\bruch{c+a}{2} < \bruch{c+c}{2} = \bruch{2c}{2} = c[/mm]
und somit [mm]a_n < \bruch{c+a}{2} < c[/mm] (was logisch ist, da [mm] \bruch{c+a}{2} [/mm] ja zwischen a und c liegt und damit kleiner als c
Gruß,
Gono.
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