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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Di 04.09.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert und die zu einem vorgegebenen [mm] $\epsilon$ [/mm] gehörende Stelle S.
[mm] $\limes_{x \to \infty}\bruch{4x-8}{x}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
zur Bestimmung des Grenzwertes setze ich große Zahlen für x ein und finde raus, dass der Grenuwert 4 ist. Nun muss ich ein S finden ab dem gilt [mm] $|x_n [/mm] - g| < [mm] \epsilon$ [/mm] für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$.
Rechnung:
[mm] $|\bruch{4x-8}{x} [/mm] - 4| < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $|\bruch{4x-8}{x} [/mm] - [mm] \bruch{4x}{x}| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $|\bruch{-8}{x}| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
$x < [mm] \bruch{8}{\epsilon}$
[/mm]
Bswp. [mm] $\epsilon [/mm] = 0,01$ dann ist S = 800. Für x > 800 gilt, dass der zugehörige Funktionswert f(x) weniger als 0,01 vom Grenzwert 4 entfernt ist. Stimmt die Rechung so. Dass -8 wird durch die Betragsstriche (+)8, oder?
In der Lösung steht noch für den Grenzwert:
[mm] $\limes_{x \to \infty}\bruch{4x-8}{4} [/mm] = 4$
wie kommen die darauf? Unter dem Bruchstrich müsste doch ein x stehen, oder?
Vielen Dank
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Hallo itse!
Du hast recht es muß im Nenner x und nicht 4 stehen.
Grüße Martha.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 04.09.2007 | | Autor: | itse |
Danke für deine Antwort, die Rechnung darüber passt so, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Di 04.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Die Rechnung passt ... bis auf den allerletzen Schritt. Da muss es heißen:
$$x \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{8}{\varepsilon}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 04.09.2007 | | Autor: | itse |
Danke für die Antworten. Okay dann versteh ich nicht, wie aus -8 +8 wird, und es heisst doch -8/x dann müsste ich dies doch mit mal auf die andere Seite bringen. Und noch eine letzte Frage: Warum ändert sich das < - Zeichen auf das > - Zeichen, liegt dies daran dass 8 negativ ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 04.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Es gilt ja $|-8| \ = \ 8$ und in unserem Falle $|x| \ = \ x$ , da wir den Grenzwert für [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] betrachten. Damit wird:
[mm] $$\left|\bruch{-8}{x}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{|-8|}{|x|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{x} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$$
[/mm]
Nun diese Ungleichung mit [mm] $\bruch{x}{\varepsilon} [/mm] \ > \ 0$ multiplizieren:
[mm] $$\bruch{8}{\varepsilon} [/mm] \ < \ x$$
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:14 Di 04.09.2007 | | Autor: | itse |
Vielen Dank, nun die allerletzte Frage, warum mit
$ [mm] \bruch{x}{\varepsilon} [/mm] \ > \ 0 $ multiplizieren. Ich könnte doch auch nach x einfach umformen, oder? Nur dann kommt was anderes raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Di 04.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> warum mit [mm]\bruch{x}{\varepsilon} \ > \ 0[/mm] multiplizieren.
> Ich könnte doch auch nach x einfach umformen, oder?
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Genau das mache ich doch ...
> Nur dann kommt was anderes raus.
Das will ich sehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 04.09.2007 | | Autor: | itse |
Okay, so sieht das bei mir aus:
$ [mm] \bruch{8}{x} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
$ x < [mm] \epsilon [/mm] * 8$
8 geiteilt durch x, also muss ich doch multiplizieren und nicht dividieren, oder steh ich grad mächtig auf dem schlauch? und wenn ich dividiere müsste die 8 doch in den nenner wandern und nicht als zähler fungieren?
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Hallo,
jetzt gucken wir mal eine kleine Gleichung an.
[mm] \bruch{15}{x}=5.
[/mm]
Wie finden wir heraus, durch was man 15 teilen muß, um 5 zu erhalten?
Indem wir [mm] \bruch{15}{5} [/mm] berechnen.
Der Prozeß:
[mm] \bruch{15}{x}=5 [/mm] |*x
<==>
15=5x |:5
<==>
[mm] \bruch{15}{5}=x
[/mm]
Alles klar?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:43 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
Ja, danke. Hab es gestern abend nochmal gerechnet und kam dann auf das Ergebnis.
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Hallo itse!
Korrekt muß es heißen:abs(x)>8/epsilon.
Grüße Martha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 04.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martha!
Diesen Gedanken hatte ich auch schon ... da hier aber der Grenzwert für [mm] $x\rightarrow\red{+}\infty$ [/mm] betrachtet wird, kann man die Betragsstriche weglassen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Du hast recht.
Grüße Martha.
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