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Forum "Integralrechnung" - Grenzwert Integral
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Grenzwert Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mi 15.06.2016
Autor: Mapunzel

Aufgabe
Berechnen Sie den Granzwert [mm] \lim_{n\to\infty} \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}sin^{n}(x) dx}. [/mm]

Hallo, kann man hier den Satz über dominierte Konvergenz anwenden?
Also die Funktionenfolge ist ja nicht negativ, messbar und punktweise existiert auch ein Grenzwert mit [mm] \lim_{n\to\infty} f_n(x)= e^{-x} [/mm] für [mm] x\neq \{x |\exists n\in\IN \mbox{ mit} x=n\pi\}. [/mm]
Oder lieg ich da falsch?
Danke im vorraus.

        
Bezug
Grenzwert Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 15.06.2016
Autor: fred97


> Berechnen Sie den Granzwert [mm]\lim_{n\to\infty} \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}sin^{n}(x) dx}.[/mm]
>  
> Hallo, kann man hier den Satz über dominierte Konvergenz
> anwenden?
>  Also die Funktionenfolge ist ja nicht negativ, messbar und
> punktweise existiert auch ein Grenzwert mit
> [mm]\lim_{n\to\infty} f_n(x)= e^{-x}[/mm] für [mm]x\neq \{x |\exists n\in\IN \mbox{ mit} x=n\pi\}.[/mm]
>  
> Oder lieg ich da falsch?

Du liegst richtig

FRED

>  Danke im vorraus.  


Bezug
                
Bezug
Grenzwert Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Mi 15.06.2016
Autor: Mapunzel

Aufgabe
Berechnen sie den Grenzwert $ [mm] \lim_{n\to\infty} \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}sin^{n}(x) dx}. [/mm] $

Vielen Dank für die schnelle Antwort, heißt also ich kann grob gesagt Grenzwert und Integral vertauschen?
Also $ [mm] \lim_{n\to\infty} \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}sin^{n}(x) dx}= \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}dx}$ [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Mi 15.06.2016
Autor: fred97


> Berechnen sie den Grenzwert [mm]\lim_{n\to\infty} \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}sin^{n}(x) dx}.[/mm]
>  
> Vielen Dank für die schnelle Antwort, heißt also ich kann
> grob gesagt Grenzwert und Integral vertauschen?

Ja


>  Also [mm]\lim_{n\to\infty} \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}sin^{n}(x) dx}= \integral_{1}^{\infty}{e^{-x}dx}[/mm]

Nee ! Gegen was konvergiert denn die Folge [mm] (e^{-x}sin^{n}(x) [/mm] ) fast überall ?

FRED

> ?


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mi 15.06.2016
Autor: Mapunzel

Sie konvergiert fast überall gegen 0. Und das Integral ist dann auch 0 oder? Aber was hat denn dann der punktweise Grenzwert damit zutun, ist der nur eine Voraussetzung um den Satz von Lebesgue anwenden zu können?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Mi 15.06.2016
Autor: fred97


> Sie konvergiert fast überall gegen 0. Und das Integral ist
> dann auch 0 oder? Aber was hat denn dann der punktweise
> Grenzwert damit zutun, ist der nur eine Voraussetzung um
> den Satz von Lebesgue anwenden zu können?

Wie lautet denn dieser Satz ???

fred


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Do 16.06.2016
Autor: Mapunzel

Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Folge messbarer Funktionen, die fast überall punktweise gegen eine messbare Funktion f konvergiert.
Es gebe eine integrierbare Funktion g mit
[mm] |f(x)|\le [/mm] g(x) fast überall.
Dann ist f integrierbar und der Grenzwert der Integrale von [mm] f_n [/mm] ist sozusagen das Integral von f.
Ich glaub mich verwirrt nur dieses fast überall punktweise. Heisst dass, das die [mm] f_n [/mm] überall punktweise konvergieren ausser auf Nullmengen?

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Do 16.06.2016
Autor: fred97


> Sei [mm](f_n)[/mm] eine Folge messbarer Funktionen, die fast
> überall punktweise gegen eine messbare Funktion f
> konvergiert.
>  Es gebe eine integrierbare Funktion g mit
>  [mm]|f(x)|\le[/mm] g(x) fast überall.

Nein, sondern  [mm]|f_n(x)|\le[/mm] g(x) fast überall.


>  Dann ist f integrierbar und der Grenzwert der Integrale
> von [mm]f_n[/mm] ist sozusagen das Integral von f.

Sozusagen ????? Was hat das mit Mathematik zu tun ?

der Grenzwert der Integrale  von [mm]f_n[/mm] ist das Integral von f !



> Ich glaub mich verwirrt nur dieses fast überall
> punktweise. Heisst dass, das die [mm]f_n[/mm] überall punktweise
> konvergieren ausser auf Nullmengen?

Ja, ausser auf einer Nullmenge

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Do 16.06.2016
Autor: Mapunzel

Ok danke, dass mit den [mm] f_n [/mm] war ein Schreibfehler und "sozusagen" sollte tatsächlich nur aussagen, dass ich es als Wortgleichung geschrieben hab, weil ich die Formel nicht nochmal abtippen wollte :) Aber vielen dank, jetzt hab ich es verstanden!

Bezug
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