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| Aufgabe | | Keine explizite Aufgabenstellung. |
Hallo.
Demnächst stehe ich vor meiner Mathe Klausur und dabei habe ich mich an einer Aufgabe erinnert die in etwa so lautet:
Betrachten Sie folgende Zahlenfolge.
[mm] z=(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}i)^{n}
[/mm]
Ist die Zahlenfolge für [mm] n\to\infty [/mm] divergent oder konvergent?
Ich denke auch, dass noch die Option vorhanden war, dass die Folge gegen plus oder minus unendlich läuft.
Sollte ich eine solche Aufgabe erhalten wäre mein Ansatz, dass es sich um eine Folge handelt, die gegen 0 läuft richtig?
Zunächst habe ich mir überlegt, dass ich z in die Exponentialform bringen könnte.
Also [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] wobei [mm] \phi=arg(z) [/mm] und r=Betrag von z
D.h aus [mm] z^{n} [/mm] könnte ich folgern, dass [mm] r^n*e^{in\phi} [/mm] gilt.
Man würde anschaulich sehen, dass der Betrag immer größer wird (also die Zeigerlänge und damit auch z selbst) und das der Winkel größer wird.
Nun habe ich mir jedoch noch gedacht, dass wenn r<1 ist, dass [mm] r^n [/mm] gegen 0 läuft und somit z selbst auch gegen 0 läuft.
Daher meine obige Annahme.
Ist das ok so?
Viele Grüße
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> Betrachten Sie folgende Zahlenfolge.
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> [mm]z_n\ =\ {\underbrace{\left(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}\ i\right)}_{z_1}}^{n}[/mm]
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> Ist die Zahlenfolge für [mm]n\to\infty[/mm] divergent oder
> konvergent?
> Ich denke auch, dass noch die Option vorhanden war, dass
> die Folge gegen plus oder minus unendlich läuft.
>
> Sollte ich eine solche Aufgabe erhalten wäre mein Ansatz,
> dass es sich um eine Folge handelt, die gegen 0 läuft
> richtig?
>
> Zunächst habe ich mir überlegt, dass ich z in die
> Exponentialform bringen könnte.
> Also [mm]z=r*e^{i\phi}[/mm] wobei [mm]\phi=arg(z)[/mm] und r=Betrag von z
>
> D.h aus [mm]z^{n}[/mm] könnte ich folgern, dass [mm]r^n*e^{in\phi}[/mm]
> gilt.
> Man würde anschaulich sehen, dass der Betrag immer
> größer wird (also die Zeigerlänge und damit auch z
> selbst) und das der Winkel größer wird.
>
> Nun habe ich mir jedoch noch gedacht, dass wenn r<1 ist,
> dass [mm]r^n[/mm] gegen 0 läuft und somit z selbst auch gegen 0
> läuft.
>
> Daher meine obige Annahme.
>
> Ist das ok so?
>
> Viele Grüße
Hallo Masseltof,
deine Idee, dass man das mit Polarkoordinaten
betrachten soll, ist absolut richtig. Es kommt also
für die Konvergenzfrage in erster Linie darauf an,
ob nun [mm] r=|z_1|<1 [/mm] oder r=1 oder r>1 ist.
Wie groß ist denn [mm] r=|z_1| [/mm] im vorliegenden Fall ?
LG Al-Chw.
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Hallo und danke für deine Antwort.
Das freut mich dann aber doch.
[mm] |z|=r=\wurzel{a^2+b^2}\approx [/mm] 0.4167
Damit ist r<1 und somit potenziert mit [mm] n\in\IN [/mm] eine gegen 0 laufende Zahl.
Somit könnte man aus
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}r^{n*}e^{i*r*n} [/mm] auf [mm] 0*e^{i*r*n}=0 [/mm] schlussfolgern, wobei [mm] r^n [/mm] natürlich nicht 0 ist, sondern gegen 0 läuft.
Viele Grüße und danke für die Hilfe
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> Hallo und danke für deine Antwort.
>
> Das freut mich dann aber doch.
>
> [mm]|z|=r=\wurzel{a^2+b^2}\approx[/mm] 0.4167
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> Damit ist r<1 und somit potenziert mit [mm]n\in\IN[/mm] eine gegen 0
> laufende Zahl.
> Somit könnte man aus
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}r^{n*}e^{i*r*n}[/mm] auf
> [mm]0*e^{i*r*n}=0[/mm] schlussfolgern, wobei [mm]r^n[/mm] natürlich nicht 0
> ist, sondern gegen 0 läuft.
OK
Al-Chw.
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