Grenzwert Kosinus und Sinus < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es ist [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) [/mm] zu ermitteln, wobei [mm] f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t} [/mm] ist. Meine Lösung schaut wie folgt aus:
Aufgrund des definierten Wertebereiches für y=sin(t) sowie y=cos(t) von [mm]-1 \le y \le 1[/mm] mit dem Definitionsbereich [mm]-\infty
Ist das eine mathematisch korrekte Lösung bzw. Argumentation?
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Do 09.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mathe-Andi!
Deine Idee ist richtig, aber nicht sauber ausformuliert. Außerdem
benutzt du, ohne es zu merken, die Grenzwertsätze, obwohl die Vor-
aussetzung dafür nicht gegeben ist.
Ich denke, dass du sauber zeigen kannst, dass die Funktion beschränkt
ist. Damit hast du aber noch nicht gezeigt, dass sie divergiert.
Überlege nochmal selbst. 
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Fr 10.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo,
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> es ist [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] zu ermitteln, wobei
> [mm]f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t}[/mm] ist.
1.) Plotte Dir mal den (bzw. einen Ausschnitt des) Graphen von [mm] $f\,.$
[/mm]
2.) Denke "über markante Punkte von Sinus und Kosinus" nach.
3.) Denke nun drüber nach, ob Du vielleicht "markante Punkte für [mm] $f\,$" [/mm]
benennen kannst. Auch falls nicht, so fahre mit 4.) weiter.
4.) Setze mal [mm] $g(t):=2+\cos(2t)+\sin(2t)\,.$
[/mm]
5.) Wiederhole 1.) und 3.) auch für [mm] $g\,$; [/mm] dabei kann vielleicht auch [mm] $g\,'$ [/mm] helfen.
6.) Kreiere eine Folge von [mm] $x_k$ [/mm] mit [mm] $x_k \to \infty$ [/mm] so, dass [mm] $g\,$
[/mm]
- an allen [mm] $x_{2k}$ [/mm] sein Maximum
- an allen [mm] $x_{2k-1}$ [/mm] sein Minimum
annimmt.
7.) Benutze diese [mm] $x_k$ [/mm] dann zudem in [mm] $f\,.$
[/mm]
Kommentar: Ist Dir klar, dass [mm] $((-1)^n+\,1/n)_n$ [/mm] eine divergente Folge ist?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Fr 10.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> es ist [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] zu ermitteln, wobei
> [mm]f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t}[/mm] ist. Meine Lösung schaut
> wie folgt aus:
>
> Aufgrund des definierten Wertebereiches für y=sin(t) sowie
> y=cos(t) von [mm]-1 \le y \le 1[/mm] mit dem Definitionsbereich
> [mm]-\infty
> sondern es gilt [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm]
>
> Ist das eine mathematisch korrekte Lösung bzw.
> Argumentation?
Nein, überhaupt nicht !
1. Du redest von einem nicht ex. Grenzwert und schreibst dennoch [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm] !
Also was jetzt? Ex. der Grenzwert oder ex. er nicht ?
2. Was ist denn ein "absoluter Grenzwert" ?
3. Mit Deiner "Argumentation" hätte jede Funktion der Bauart
$ [mm] f(t)=2+g(t)+h(t)+2t\cdot{}e^{-3t} [/mm] $,
keinen GW für $t [mm] \to \infty$, [/mm] wenn nur |g|,|h| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IR [/mm] gilt.
Das ist natürlich Quark !
4. Wenn $ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) [/mm] $ existieren würde, so würde auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f((2n+1)*\bruch{\pi}{2})
[/mm]
existieren. Das ist aber nicht der Fall. Warum ?
FRED
>
>
> Grüße, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Fr 10.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > es ist [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] zu ermitteln, wobei
> > [mm]f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t}[/mm] ist. Meine Lösung schaut
> > wie folgt aus:
> >
> > Aufgrund des definierten Wertebereiches für y=sin(t) sowie
> > y=cos(t) von [mm]-1 \le y \le 1[/mm] mit dem Definitionsbereich
> > [mm]-\infty
> > sondern es gilt [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm]
>
> >
> > Ist das eine mathematisch korrekte Lösung bzw.
> > Argumentation?
>
> Nein, überhaupt nicht !
>
> 1. Du redest von einem nicht ex. Grenzwert und schreibst
> dennoch [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm] !
>
> Also was jetzt? Ex. der Grenzwert oder ex. er nicht ?
>
> 2. Was ist denn ein "absoluter Grenzwert" ?
>
> 3. Mit Deiner "Argumentation" hätte jede Funktion der
> Bauart
>
> [mm]f(t)=2+g(t)+h(t)+2t\cdot{}e^{-3t} [/mm],
>
> keinen GW für [mm]t \to \infty[/mm], wenn nur |g|,|h| [mm]\le[/mm] 1 auf [mm]\IR[/mm]
> gilt.
>
> Das ist natürlich Quark !
>
> 4. Wenn [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] existieren würde,
> so würde auch
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f((2n+1)*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> existieren. Das ist aber nicht der Fall. Warum ?
nur der allgemeine Hinweis: Bei 4. wollte Fred sicher eine etwas andere
Folge hinschreiben; obige würde gegen $1$ konvergieren (wenn ich mich
nicht verrechnet habe).
Vermutung: Gemeint war
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f((2n+1)*\bruch{\pi}{\red{4}})$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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