Grenzwert/Limes mit Wurzel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 11.05.2010 | | Autor: | fabian.j |
| Aufgabe | Man berechne folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n \to \infty}[n (1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}})]
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und "Hallo" erstmal!
Meine umformungen lauten dann so:
[mm] \limes_{n \to \infty}[n (1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}})] [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}(n [/mm] - n [mm] \wurzel{1- \bruch{a}{n}}) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}(n [/mm] - [mm] \wurzel{n^2 - an})
[/mm]
Meine Frage:
Kann ich mir den dritten Schritt schon sparen und sagen, dass [mm] \buch{a}{n} [/mm] in der Wurzel gegen 0 geht, somit die komplette Wurzel zu 1 wird und dann [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] (n - n) = 0 ist?
Oder geht die Argumentation so (jetzt nach dem dritten Schritt):
[mm] n^2 [/mm] - an > 0, da a konstant. Daraus folgt, dass [mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel{n^2 - an} [/mm] zwar gegen [mm] +\infty [/mm] geht, aber nicht so stark wie n. Und deshalb ist der Grenzwert der gesamten Formel = [mm] +\infty [/mm] ?
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> Man berechne folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}[n (1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}})][/mm]
> Meine umformungen lauten dann so:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}[n (1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}})][/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty}(n[/mm] - n [mm]\wurzel{1- \bruch{a}{n}})[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty}(n[/mm] - [mm]\wurzel{n^2 - an})[/mm]
Leider gehen beide deine Argumentationen nicht.
Du musst deinen Ausdruck immer so umformen, dass du die Grenzwertsätze anwenden kannst.
Den Grenzwertsatz [mm] $a_{n}*b_{n}\to [/mm] a*b$ kannst du aber nur benutzen, wenn [mm] a_{n} [/mm] gegen a und [mm] b_{n} [/mm] gegen b konvergieren, also beide Limites existieren. Genauso verhält es sich natürlich bei allen anderen Grenzwertsätzen.
Bei dir existiert aber immer einer der beiden Grenzwerte nicht:
> Meine Frage:
> Kann ich mir den dritten Schritt schon sparen und sagen,
> dass [mm]\buch{a}{n}[/mm] in der Wurzel gegen 0 geht, somit die
> komplette Wurzel zu 1 wird und dann [mm]\limes_{n \to \infty}[/mm]
> (n - n) = 0 ist?
Was du hier machst, ist kein Grenzwertsatz: Du möchtest praktisch erst den Grenzwertsatz für "-" anwenden - der geht aber nicht, weil beide Teilfolgen n und [mm] n*\sqrt{1-a/n} [/mm] nicht konvergieren (sie divergieren gegen unendlich).
(Du siehst jetzt vielleicht nicht unmittelbar, warum du Grenzwertsätze anwendest (anwenden willst) bei deiner Argumentation: Aber sobald du sagt: "Ich lasse erstmal das n in der Wurzel gegen unendlich gehen, usw.", hast du im Grunde Grenzwertsätze angewendet (warum?))
> Oder geht die Argumentation so (jetzt nach dem dritten
> Schritt):
> [mm]n^2[/mm] - an > 0, da a konstant. Daraus folgt, dass [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel{n^2 - an}[/mm]
> zwar gegen [mm]+\infty[/mm] geht, aber nicht so stark wie n. Und
> deshalb ist der Grenzwert der gesamten Formel = [mm]+\infty[/mm] ?
Nein - das sind ja nur Spekulationen 
Mache Folgendes:
[mm] $n*\left(1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}}\right) [/mm] = [mm] n*\left(1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}}\right)*\frac{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}}{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}}$
[/mm]
(Nun dritte binomische Formel!) Der Trick wird übrigens häufig angewendet, wenn man Grenzwerte von Wurzelausdrücken bestimmen will.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 11.05.2010 | | Autor: | fabian.j |
> Mache Folgendes:
>
> [mm]n*\left(1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}}\right) = n*\left(1-\wurzel{1- \bruch{a}{n}}\right)*\frac{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}}{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}}[/mm]
>
> (Nun dritte binomische Formel!) Der Trick wird übrigens
> häufig angewendet, wenn man Grenzwerte von
> Wurzelausdrücken bestimmen will.
Hm, danke Stephan. Diese Idee hatte ich auch schon, aber irgendwie verlagert das ja das Problem bei mir nur oder ich komm nicht drauf.
Durch umformen, wie du gesagt hast, erhalte ich dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-a}{1 + \wurzel{1 - \bruch{a}{n}}}
[/mm]
Meine Tendenz, wenn ich raten würde, wäre wieder, dass der limes dann gegen [mm] -\bruch{a}{2} [/mm] oder hat -a läuft. Aber irgendwie hab ich ein Brett vorm Kopf und seh nicht (falls das stimmt), wie.
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Hallo!
> Hm, danke Stephan.
Mittlerweile scheint "Stephan" üblicher zu sein als "Stefan"
> Diese Idee hatte ich auch schon, aber
> irgendwie verlagert das ja das Problem bei mir nur oder ich
> komm nicht drauf.
>
> Durch umformen, wie du gesagt hast, erhalte ich dann:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-a}{1 + \wurzel{1 - \bruch{a}{n}}}[/mm]
Fast richtig, bei mir ist vor dem a kein Minus.
Deine Tendenz ist richtig, der Limes ist a/2.
Dieses Mal können wir es aber auch mit den Grenzwertsätzen belegen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a}{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}} [/mm] = [mm] \frac{\limes_{n\rightarrow\infty}(a)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}\right)} [/mm] = ...$
Es gilt übrigens auch [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_{n}} [/mm] = [mm] \sqrt{a}$, [/mm] falls [mm] $a_{n}\to [/mm] a$.
Grüße,
Stefan
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