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| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} (e^{x}-x-1)/((e^{x}-1)*x) [/mm] |
Hallo alle Zusammen!
Ich habe leider so meine Schwierigkeiten mit Reihen vorallem mit Taylor Entwicklung.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an diese Aufbabe rangehen muss!?
Die Tylorreihe von [mm] e^{x} [/mm] ist mir bekannt.
[mm] e^{x}= \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] (1/k!) [mm] *x^{k}
[/mm]
Jedoch weiß ich trotzdem nicht so ganz wie mich das weiterbringt, vor allem wegen dem -x-1 in Zähler und -1)*x im Nenner.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe und
Liebe Grüße
Miilkyway
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo miilkyway und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer
> Taylor-Entwicklung:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow \0} (e^{x}-x-1)/((e^{x}-1)*x)[/mm]
Du musst den Backslash vor der Null weglassen, damit das korrekt angezeigt wird!
>
> Hallo alle Zusammen!
>
> Ich habe leider so meine Schwierigkeiten mit Reihen
> vorallem mit Taylor Entwicklung.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an diese Aufbabe
> rangehen muss!?
> Die Tylorreihe von [mm]e^{x}[/mm] ist mir bekannt.
> [mm]e^{x}= \summe_{k=\red{1}}^{\infty}[/mm] (1/k!) [mm]*x^{k}[/mm]
Genau das musst du benutzen, wobei die Summe bei [mm]k=\red 0[/mm] losgeht!
>
> Jedoch weiß ich trotzdem nicht so ganz wie mich das
> weiterbringt, vor allem wegen dem -x-1 in Zähler und -1)*x
> im Nenner.
Nimm die ersten paar Terme der Taylorentwicklung:
Im Zähler: [mm]e^x-x-1=}\left( \ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}{x^k} \ \right) \ -x-1 \ = \ \left(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots\right)-x-1=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots[/mm]
Ganz ähnlich im Nenner. Nimm wieder die ersten paar Terme der Taylorentwicklung und multipliziere aus ...
Dann wird sich das schön vereinfachen ...
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> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe und
> Liebe Grüße
> Miilkyway
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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> Du musst den Backslash vor der Null weglassen, damit das
> korrekt angezeigt wird!
>
Oh, alles klar, wusste ich nicht, vielen Dank für den Hinweis!
> > Die Tylorreihe von [mm]e^{x}[/mm] ist mir bekannt.
> > [mm]e^{x}= \summe_{k=\red{1}}^{\infty}[/mm] (1/k!) [mm]*x^{k}[/mm]
>
> Genau das musst du benutzen, wobei die Summe bei [mm]k=\red 0[/mm]
Tippfehler, tut mir leid, auf meinem Blatt steht es richtig, aber Danke für die Korrektur!
Ok ich hab das jetzt mal so gemacht, wie Du gesagt hast:
Zähler: [mm] e^x-x-1=\left( \ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}{x^k} \ \right)-x-1 [/mm] = [mm] \left(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots\right)-x-1=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots
[/mm]
Nenner: [mm] (e^{x}-1)*x [/mm] = [mm] (1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...)-1)*x
[/mm]
= [mm] x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...)*x
[/mm]
= [mm] x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^4+...
[/mm]
so das ergibt dann
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...}{x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^4+...}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] = 1?
Stimmt das so?
LG
miilkyway
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Hallo nochmal,
> > Du musst den Backslash vor der Null weglassen, damit das
> > korrekt angezeigt wird!
> >
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> Oh, alles klar, wusste ich nicht, vielen Dank für den
> Hinweis!
>
> > > Die Tylorreihe von [mm]e^{x}[/mm] ist mir bekannt.
> > > [mm]e^{x}= \summe_{k=\red{1}}^{\infty}[/mm] (1/k!) [mm]*x^{k}[/mm]
> >
> > Genau das musst du benutzen, wobei die Summe bei [mm]k=\red 0[/mm]
>
> Tippfehler, tut mir leid, auf meinem Blatt steht es
> richtig, aber Danke für die Korrektur!
>
> Ok ich hab das jetzt mal so gemacht, wie Du gesagt hast:
>
> Zähler: [mm]e^x-x-1=\left( \ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}{x^k} \ \right)-x-1[/mm]
> =
> [mm]\left(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots\right)-x-1=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots[/mm]
>
> Nenner: [mm](e^{x}-1)*x[/mm] =
> [mm](1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...)-1)*x[/mm]
> = [mm]x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...)*x[/mm]
> = [mm]x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^4+...[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so das ergibt dann
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...}{x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^4+...}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] = 1? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Huch? Woher kommt die 1?
>
> Stimmt das so?
Nee, klammere mal [mm]x^2[/mm] in Zähler und Nenner aus, dann kannst du es kürzen und [mm]x\to 0[/mm] gehen lassen ...
>
> LG
> miilkyway
Gruß zurück!
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...}{x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^4+...}[/mm]
>
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> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] = 1?
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> Huch? Woher kommt die 1?
>
ok Denkfehler meinerseits!
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> Nee, klammere mal [mm]x^2[/mm] in Zähler und Nenner aus, dann
> kannst du es kürzen und [mm]x\to 0[/mm] gehen lassen ...
>
> >
ah ja na klar,
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...}{x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^4+...}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow0}\frac{x^2*(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}x+...)}{x^2*(1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x^3+...)}
[/mm]
wenn ich dann [mm] x^2 [/mm] kürze und x gegen 0 laufen lasse bleibt mir im Zähler das [mm] \frac{1}{2} [/mm] übrig und im Nenner die 1
daraus folgt also
[mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Sollte jetzt stimmen oder? :)
Vielen Dank für die Hilfe!!!
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