Grenzwert ausrechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 14.05.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Untersuche ob der Grenzwert existiert und bestimme ggf.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm] |
Meine Rechnung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm] = [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] also wende ich l'Hospital an:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x*sin(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x})*(-\bruch{1}{x^2})*x^2}{cos(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty} 2x\bruch{sin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x})}{cos(x)}=0/1=0
[/mm]
Stimmt das so? Danke für eure Hilfe!
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> Untersuche ob der Grenzwert existiert und bestimme ggf.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm]
>
> Meine Rechnung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm]
> = [mm]"\bruch{0}{0}"[/mm] also wende ich l'Hospital an:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x*sin(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x})*(-\bruch{1}{x^2})*x^2}{cos(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty} 2x\bruch{sin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x})}{cos(x)}=0/1=0[/mm]
>
hier sollte zuletzt stehen
[mm] \[\frac{2\,\mathrm{sin}\left( \frac{1}{x}\right) \,x-\mathrm{cos}\left( \frac{1}{x}\right) }{\mathrm{cos}\left( x\right) }\]
[/mm]
wenn x nun gegen unendlich strebt, kann man den cos im zähler vernachlässigen. du hast also ein immer grösser werdendes x im zähler, welches mit einem wert [-1;1] multipliziert wird. im nenner hast du dann jeweils auch einen wert [-1;1]. man sieht also schon, dass es keinen grenzwert gibt.
um das zu zeigen kannst du ja geeignete abschätzungen für das sandwich lemma suchen
> Stimmt das so? Danke für eure Hilfe!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 14.05.2011 | | Autor: | frank85 |
Danke für deine Antwort! Ich habe mich vertan, es ist der Limes für x gegen 0 gesucht, nicht gegen unendlich! Sorry...
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> Danke für deine Antwort! Ich habe mich vertan, es ist der
> Limes für x gegen 0 gesucht, nicht gegen unendlich!
> Sorry...
auch der existiert nicht
der erste term in zähler geht gegen 0, der andere oszilliert um [-1;1]
der nennert geht gegen 1, somit ergibt sich kein grenzwert
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Sa 14.05.2011 | | Autor: | frank85 |
oookay danke schön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Sa 14.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine Antwort! Ich habe mich vertan, es ist der
> Limes für x gegen 0 gesucht, nicht gegen unendlich!
> Sorry...
Hallo,
dann ist der Grenzwert Null.
Bekannterweise (?) gilt [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{sin(x)}=1
[/mm]
Man kann zerlegen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})}{sin(x)}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{sin(x)}*\limes_{x\rightarrow 0}(x*sin\bruch{1}{x}).
[/mm]
Der erste Grenzwert ist 1; im zweiten Grenzwert wird eine gegen Null gehende Zahl mit einem beschränkten Wert (zwischen -1 und 1) multipliziert.
Gruß Abakus
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