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Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mo 20.01.2014
Autor: SturmGhost

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!*n^{n-2}}{(n-2)^n*(n-1)!} [/mm]

Habe erst einmal vereinfacht:

[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*(n+1)*n^{n}*n^{-2}}{(n-2)^n} [/mm]

[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)*n^{n}}{(n-2)^n*n} [/mm]

Ich habe es mit l'Hospital probiert aber komme nicht auf das richtige Ergebnis. Muss vermutlich anders vorgehen?

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Mo 20.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Berechnen Sie den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!*n^{n-2}}{(n-2)^n*(n-1)!}[/mm]
>  Habe erst einmal vereinfacht:
>  
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*(n+1)*n^{n}*n^{-2}}{(n-2)^n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)*n^{n}}{(n-2)^n*n}[/mm]

[ok]

> Ich habe es mit l'Hospital probiert aber komme nicht auf
> das richtige Ergebnis. Muss vermutlich anders vorgehen?

Das musst du hier auch ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 20.01.2014
Autor: SturmGhost

Tja und wie?

So etwas?

[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n} [/mm]

Aber was soll der [mm] ln(\infty) [/mm] sein? Muss ich noch mehr durch e ersetzen?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mo 20.01.2014
Autor: DieAcht


> Tja und wie?
>  
> So etwas?
>  
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}[/mm]
>  
> Aber was soll der [mm]ln(\infty)[/mm] sein? Muss ich noch mehr durch
> e ersetzen?  

Es gilt:

      [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}=\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n} [/mm]

Offensichtlich können wir nun L'Hospital verwenden,
da wir für [mm] n\to\infty [/mm] den Fall [mm] "\frac{\infty}{\infty}" [/mm] erhalten.

Schreibe das also um und verarzte es mit L'Hospital.


DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mo 20.01.2014
Autor: SturmGhost

Also deine Umformung verstehe ich.

Beim l'Hospital bekomme ich jetzt aber Zahnstein.

[mm] \frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n\cdot{}n} [/mm]

[mm] \gdw \bruch{n^n*(n+1)}{(n-2)^n*n} [/mm]

[mm] \gdw \bruch{e^{n*ln(n)}*(n+1)}{e^{n*ln(n-2)}*n} [/mm]

Jetzt ableiten

[mm] \bruch{e^{n*ln(n)}*\bruch{1}{n}*(n+1)+e^{n*ln(n)}}{e^{n*ln(n-2)}*\bruch{1}{n-2}*n+e^{n*ln(n-2)}} [/mm]

Überhaupt richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:12 Di 21.01.2014
Autor: DieAcht


> Also deine Umformung verstehe ich.
>
> Beim l'Hospital bekomme ich jetzt aber Zahnstein.
>
> [mm]\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n\cdot{}n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \bruch{n^n*(n+1)}{(n-2)^n*n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \bruch{e^{n*ln(n)}*(n+1)}{e^{n*ln(n-2)}*n}[/mm]
>  
> Jetzt ableiten
>  
> [mm]\bruch{e^{n*ln(n)}*\bruch{1}{n}*(n+1)+e^{n*ln(n)}}{e^{n*ln(n-2)}*\bruch{1}{n-2}*n+e^{n*ln(n-2)}}[/mm]
>  
> Überhaupt richtig?

Ich habe nicht ohne Grund die Umformung gemacht.
Damit ist die Ableitung einfacher im Zähler.

Ich nehme aber meinen Tipp mit L'Hospital zurück.
denn ich habe es nun 4 mal ohne Erfolg abgeleitet.

Du könntest aber probieren nach oben abzuschätzen.

Das Problem ist, dass man hier sehr aufpassen mit der Abschätzung,
da man sonst bei Unendlich landet..

Zum Beispiel wäre folgendes schon "zu viel":

      [mm] \frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}\le\frac{n^{n+1}+n^{n+1}}{(n-2)^n*n}=\frac{2n^{n+1}}{(n-2)^n*n}=2\frac{n^{n}}{(n-2)^n}=2(\frac{n}{n-2})^n [/mm]


Für hinreichend große $n$ müsste aber folgendes funktionieren:

      [mm] \frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}\approx(\frac{n}{n-2})^n [/mm]

Dann müsstest du dir nur noch den folgenden Grenzwert angucken:

      [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n-2})^n =(1-\frac{2}{n})^n=e^2 [/mm]

Ich glaube aber, dass das analytisch "falsch" wäre.


Ich lasse deine Frage mal offen.

Tut mir leid für die Umstände!


Gruß
DieAcht

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Di 21.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Also deine Umformung verstehe ich.
>
> Beim l'Hospital bekomme ich jetzt aber Zahnstein.
>
> [mm]\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n\cdot{}n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \bruch{n^n*(n+1)}{(n-2)^n*n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \bruch{e^{n*ln(n)}*(n+1)}{e^{n*ln(n-2)}*n}[/mm]
>  
> Jetzt ableiten
>  
> [mm]\bruch{e^{n*ln(n)}*\bruch{1}{n}*(n+1)+e^{n*ln(n)}}{e^{n*ln(n-2)}*\bruch{1}{n-2}*n+e^{n*ln(n-2)}}[/mm]
>  
> Überhaupt richtig?

Nein. Siehe Mitteilung.


Gruß
DieAcht

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Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Di 21.01.2014
Autor: fred97

Eines vorweg: auch ich würde hier nie und nimmer mit l'Hospital draufballern !


>
> Es gilt:
>  
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}=\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}[/mm]
>  
> Offensichtlich können wir nun L'Hospital verwenden,

Wieso ist das offensichtlich ???


Du scheinst die Vor für L'Hospital nicht zu kennen. Die da wären:

Sei I ein nach oben unbeschränktes Intervall und seien $f,g:I [mm] \to \IR [/mm] $differenzierbare Funktionen und sei g'(x) [mm] \ne [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I.

Jetzt kommts: wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)= \infty [/mm] und wenn

   [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]  ex.,

so ist  [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]

FRED

> da wir für [mm]n\to\infty[/mm] den Fall [mm]"\frac{\infty}{\infty}"[/mm]
> erhalten.
>  
> Schreibe das also um und verarzte es mit L'Hospital.
>  
>
> DieAcht


Bezug
        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Di 21.01.2014
Autor: Sax

Hi,

vergiss den Blödsinn mit l’Hospital, das wird nie was.

Deine letzte Umformung sah doch schon sehr gut aus.

Weiter wird $ [mm] \bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})^n}*\bruch{n+1}{n} [/mm] $

Gruß Sax.


Bezug
                
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Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:19 Di 21.01.2014
Autor: SturmGhost

Öhm, offensichtlich hast du im Nenner aus dem [mm] (n-2)^n [/mm] ein n herausgezogen und das wird dann zu [mm] n^n [/mm] und hast dann gekürzt mit dem Zähler, richtig?

Ich sehe aber irgendwie auch keinen Weg wie ich nun fortfahren soll. Das im Nenner stinkt nach etwas in Richtung e. Aber naja.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:22 Di 21.01.2014
Autor: Sax

Hi,

> Öhm, offensichtlich hast du im Nenner aus dem [mm](n-2)^n[/mm] ein
> n herausgezogen und das wird dann zu [mm]n^n[/mm] und hast dann
> gekürzt mit dem Zähler, richtig?
>  
> Ich sehe aber irgendwie auch keinen Weg wie ich nun
> fortfahren soll. Das im Nenner stinkt nach etwas in
> Richtung e. Aber naja.  

gut, wenn man so eine feine Nase hat.

Der Nenner des ersten Bruches konvergiert gegen [mm] e^{-2} [/mm] (Standardgrenzwert), der zweite Bruch konvergiert gegen 1. Mit Grenzwertsatz ergibt sich also der gesuchte Grenzwert.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Di 21.01.2014
Autor: DieAcht

Hi Sax,

> Hi,
>  
> vergiss den Blödsinn mit l’Hospital, das wird nie was.

Japp, das war Mist, sorry.

> Deine letzte Umformung sah doch schon sehr gut aus.
>  
> Weiter wird [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n} = \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})^n}*\bruch{n+1}{n}[/mm]

Super Lösung :-)

> Gruß Sax.
>  

Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:25 Di 21.01.2014
Autor: reverend

Hallo SturmGhost,

> vergiss den Blödsinn mit l’Hospital, das wird nie was.

Das sehe ich auch so.
  

> Deine letzte Umformung sah doch schon sehr gut aus.
>  
> Weiter wird [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n} = \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})^n}*\bruch{n+1}{n}[/mm]

Mir gefällt [mm] \bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n}=\blue{\left(1+\br{2}{n-2}\right)^{n-2}}*\left(1+\br{2}{n-2}\right)^2*\left(1+\br{1}{n}\right) [/mm] noch besser.

Den blauen Teil solltest Du irgendwoher kennen, und dass alles übrige gegen 1 geht, ist ziemlich offensichtlich.

Das funktioniert natürlich genausogut mit dem Vorschlag von Sax, nur irritiert die ansonsten gleichartige Klammer im Nenner - dabei macht das eigentlich keinen Unterschied.

Grüße
reverend

Bezug
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