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Grenzwert berechnen: Lösung der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Fr 02.05.2008
Autor: ahnon

Aufgabe
1) Folgende Grenzwerte berechnen: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{3k^{3}+4k}{\wurzel{k^{6}+1}}) [/mm]

2) Grenzwerte folgender Reihen berechnen: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}3*4^{-k} [/mm]

3) Grenzwert der Reihe berechnen: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2}) [/mm]

4) Untersuchen ob die Reihe konvergent ist, mithilfe des Wurzel -oder Quotientenkriteriums:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{-0,5k}*(k^{2}-1) [/mm]

Muss zu ein paar aufgaben grenzwerte berechen bin da leider nicht wirklich gut.

zu 1) habe ich:
zuerst mit [mm] \bruch{1}{k^{6}} [/mm] erweitert.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{\bruch{3}{k^{3}}+\bruch{4}{k^{5}}}{\wurzel{1+\bruch{1}{k^{6}}}}) [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] also ist der Grenzwert 0 oder?

zu 2)
Wenn ich für k=1,2,3... einsetze kommt
[mm] \bruch{3}{4}+\bruch{3}{16}+\bruch{3}{64}+\bruch{3}{256}+... [/mm]
müsste der Grenzwert doch 1 sein.
wie mans aber genau berechnet hab ich keine ahnung.

zu 3)
habs wie in der aufgabe davor versucht aber kommt zu keinem ergebnis.
die werte werden kleiner wenns k größer wird aber mehr weiß ich net:/

zu 4)
dazu hab ich keine idden


wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.

grz joey


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Grenzwert berechnen: Korrekturen / Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Fr 02.05.2008
Autor: Loddar

Hallo ahnon,

[willkommenmr] !!


> zu 1) habe ich:
> zuerst mit [mm]\bruch{1}{k^{6}}[/mm] erweitert.
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{\bruch{3}{k^{3}}+\bruch{4}{k^{5}}}{\wurzel{1+\bruch{1}{k^{6}}}})[/mm]  = [mm]\bruch{0}{1}[/mm] also ist der Grenzwert 0 oder?

[ok] Richtig!


  
> zu 2)
> Wenn ich für k=1,2,3... einsetze kommt
>  
> [mm]\bruch{3}{4}+\bruch{3}{16}+\bruch{3}{64}+\bruch{3}{256}+...[/mm]
>  müsste der Grenzwert doch 1 sein.
>  wie mans aber genau berechnet hab ich keine ahnung.

Denke mal an die Formel für die geometrische Reihe mit:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\bruch{1}{1-q} [/mm] \ \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ \ \ |q| \ < \ 1$$

  
> zu 3)
>  habs wie in der aufgabe davor versucht aber kommt zu
> keinem ergebnis.
> die werte werden kleiner wenns k größer wird aber mehr
> weiß ich net:/

Es handelt sich hier um eine sogenannte Teleskopreihe.

Schreibe Dir mal die ersten Summenglieder auf und untersuche, welche Glieder verbleiben.


  
> zu 4)
>  dazu hab ich keine idden

Wende hier zunächst das Quotientenkriterium für [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] k^2-1$ [/mm] an.


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Grenzwert berechnen: fertig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 04.05.2008
Autor: ahnon

Vielen dank hab jetzt denk alle lösen können.
hast mir mein leben gerettet^^ thx
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