Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Di 14.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^{2}+1)\wurzel{n^{2}+2}}{n^{3}} [/mm] |
Hallo,
hab ziemliche Probleme bei dieser Aufgabe. Aso rein intuitiv würd ich mal sagen der Grenzwert müsste 1 sein. Mit de l´Hospital komm ich wohl nicht weiter.
Nun zu dem, wie weit ich bisher gekommen bin: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^{2}+1)\wurzel{n^{2}+2}}{n^{3}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{1}{n^{2}}+1)(n^{2}+2)}{n\wurzel{n^{2}+2}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+ \bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}{\wurzel{n^{2}+2}}, [/mm] und an der Stelle weiß ich nun nicht mehr, wie ich den Grenzwert weiter zeigen soll. Mir selbst is klar, dass [mm] \wurzel{n^{2}+2} [/mm] wohl gegen n konvergiert.
Hoffe mir kann jmd. weiterhelfen. Möglicherweise gibts ja einen einfachen Ansatz, den ich nicht sehe.
Vielen Dank schon mal im voraus
Viele Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo ms2008de,
zunächst: Bitte immer deine post vor dem Abschicken mit "Vorschau" auf Fehler checken ...
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> Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
> \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^{2}+1)\wurzel{n^{2}+2}}{n^{3}}
> Hallo,
> hab ziemliche Probleme bei dieser Aufgabe. Aso rein
> intuitiv würd ich mal sagen der Grenzwert müsste 1 sein.
> Mit de l´Hospital komm ich wohl nicht weiter.
> Nun zu dem, wie weit ich bisher gekommen bin:
> \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^{2}+1)\wurzel{n^{2}+2}}{n^{3}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{1}{n^{2}}+1)(n^{2}+2)}}{n\wurzel{n^{2}+2}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+
> \bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^{2}}{\wurzel{n^{2}+2}}, und an der
> Stelle weiß ich nun nicht mehr, wie ich den Grenzwert
> weiter zeigen soll. Mir selbst is klar, dass
> \wurzel{n^{2}+2} wohl gegen n konvergiert.
> Hoffe mir kann jmd. weiterhelfen. Möglicherweise gibts ja
> einen einfachen Ansatz, den ich nicht sehe.
> Vielen Dank schon mal im voraus
Ich hab's versucht zu flicken, aber es sind zuviele bugs drin ...
Das, was ich meine aus dem Quelltext herauslesen zu können, ist, dass
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n^2+1)\sqrt{n^2+2}}{n^3}$ zu bestimmen ist
Falls dem so ist, klammere erstmal unter der Wurzel $n^2$ aus, hole es mit dem Wurzelgesetz $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ heraus, dann im Zähler ausmultiplizieren und anschließend $n^3$ ausklammern ...
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Di 14.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
dankeschön, und damit is der Grenzwert tatsächlich 1
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Salut
> dankeschön, und damit is der Grenzwert tatsächlich 1
Ouais!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Di 14.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mir selbst is klar, dass
> [mm]\wurzel{n^{2}+2}[/mm] wohl gegen n konvergiert.
das macht doch keinen Sinn. Wenn $n [mm] \to \infty$ [/mm] strebt, dann divergiert [mm] $n\,$ [/mm] doch gerade bestimmt gegen [mm] $\infty\,.$ [/mm] Was Du versuchst, zu sagen, ist, dass sich [mm] $\sqrt{n^2+2}$ [/mm] für große [mm] $n\,$ [/mm] im Wesentlichen wie [mm] $n\,$ [/mm] verhält.. wobei das auch noch sehr lasch ausgedrückt ist.
Etwas mathematischer wird's schonmal, wenn man den von Schachuzipus vorgeschlagenen Weg einhält und
[mm] $$\sqrt{n^2+2}=n*\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}$$
[/mm]
benutzt. Wobei man dann für das weiteres Argumentieren auch z.B. die Stetigkeit der Wurzelfunktion benützen könnte...
Gruß,
Marcel
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