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Grenzwert berechnen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mo 30.05.2005
Autor: triamos

Hallo,
bei folgender Aufgabe kann ich leider einen Schritt nicht nachvollziehen
auch nicht bei Aufteilung in mehrere kleine. Bitte um Hilfe.

[mm] \limes_{n\rightarrow+\infty} \wurzel{4x^2+2x-1}-2x [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow+\infty} \bruch{( \wurzel{4x^2+2x-1}-2x)* (\wurzel{4x^2+2x-1}+2x)}{ \wurzel{4x^2+2x-1}+2x}= [/mm]
[mm] \bruch{4x^2+2x-1-4x^2}{ \wurzel{4x^2+2x-1}+2x} [/mm] jetzt Problemschritt
[mm] =\bruch{2-\bruch{1}{x}}{\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+\bruch{2}{x}}= \limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{2}{2+2}=\bruch{1}{2} [/mm]

Habe das wie folgt versucht dahinzukommen:
[mm] \bruch{2x-1}{\wurzel{4x^2+2x-1}+2x}=\bruch{x^2(\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x})}{x^2(\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+\bruch{2}{x})}= [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}{\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+\bruch{2}{x}}= [/mm]
dann ist aber ja [mm] \limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{0}{2} [/mm] oder vorher noch [mm] \bruch{1}{x}tel [/mm] ausklammern? sehe da keinen sinn.

wo mach ich welchen Fehler??
Gruß triamos

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:43 Mo 30.05.2005
Autor: MrPink

Du musst nur mit 1/x erweitern, durch das ziehen in die Wurzel kommt dann unten [mm] 1/x^2 [/mm] unter die Wurzel, oben un hinter der Wurzel bleibt 1/x

dann müsste 0.5 raus kommen

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Mo 30.05.2005
Autor: MrPink

Oh, Lol , jetzt raff ich auch was reserviert heisst, sorry!!!

Bezug
        
Bezug
Grenzwert berechnen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 30.05.2005
Autor: MathePower

Hallo triamos,

> Habe das wie folgt versucht dahinzukommen:
>  
> [mm]\bruch{2x-1}{\wurzel{4x^2+2x-1}+2x}=\bruch{x^2(\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x})}{x^2(\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+\bruch{2}{x})}=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}{\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+\bruch{2}{x}}=[/mm]
>  dann ist aber ja [mm]\limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{0}{2}[/mm]
> oder vorher noch [mm]\bruch{1}{x}tel[/mm] ausklammern? sehe da
> keinen sinn.
>  
> wo mach ich welchen Fehler??

Das [mm]x^{2}[/mm] steht unter der Wurzel, demzufolge kann nur x ausgeklammert werden,

Gruß
MathePower


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Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Mo 30.05.2005
Autor: triamos

hmm,

also sorry, aber irgendwie macht es bei mir nicht klick.

Wenn ich im Zähler x ausklamere, x(2/x - 1/x ) o.k. dann hätte ich im Zähler dann die 1 stehen.
aber wie mache ich das im Nenner?

und was heisst in die Wurzel ziehen?
gruß
triamos

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Bezug
Grenzwert berechnen: Step by step
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Di 31.05.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Triamos!


Gehen wir doch mal schrittweise vor:

[mm] $\bruch{2x-1}{\wurzel{4x^2+2x-1}+2x}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{x*\left(2-\bruch{1}{x}\right)}{\wurzel{x^2*\left(4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}\right)}+2x}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{x*\left(2-\bruch{1}{x}\right)}{\wurzel{x^2}*\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+2x}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{x*\left(2-\bruch{1}{x}\right)}{x*\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+2x}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{\blue{x}*\left(2-\bruch{1}{x}\right)}{\blue{x}*\left(\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+2\right)}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{\blue{1}*\left(2-\bruch{1}{x}\right)}{\blue{1}*\left(\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+2\right)}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{2-\bruch{1}{x}}{\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+2}$ [/mm]


Und nun die Grenzwertbetrachtung für $x \ [mm] \to [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] ...

Sind die Zwischenschritte nun klar geworden?


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:41 Di 31.05.2005
Autor: triamos

Hi Roadrunner,

ja besten Dank.
Ich habe in de Schritten 3-5  meinen Fehler gemacht.
Jetzt ist abe alles klar und einleuchtend.

Danke
triamos

Bezug
        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Di 31.05.2005
Autor: Einstein

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo triamos,

bis zu dem folgenden Schritt hattest Du ja alles verstanden:

$  \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x-1}{\wurzel{4x^2+2x-1}+2x$

Jetzt dividieren wir den Zähler und den Nenner durch x (bzw. erweitern mit $\bruch{1}{x}$):

$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{x}\left(2x-1\right)}{\bruch{1}{x}\wurzel{4x^2+2x-1}+\bruch{1}{x}\left(2x\right)}$

Den Bruch $\bruch{1}{x}$ können wir jetzt als $\bruch{1}{x^2}$ unter die Wurzel schreiben, da $\wurzel{\bruch{1}{x^2}}=\bruch{1}{x}$ ist:

$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{x}*\left(2x-1\right)}{\wurzel{\bruch{1}{x^2}*\left(4x^2+2x-1\right)}+\bruch{1}{x}*\left(2x\right)}$

So, nun multiplizieren wir einfach alles aus:

$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2-\bruch{1}{x}}{\wurzel{4+\bruch{2}{x}-\bruch{1}{x^2}}+2} = \bruch{2}{\wurzel{4}+2} = \bruch{1}{2}$

... und schon ist der Grenzwert bestimmt.

Gruß Jürgen






Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:31 Di 31.05.2005
Autor: triamos

Hallo Jürgen,

ja, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank

triamos

Bezug
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