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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert berechnen
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Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 So 01.12.2013
Autor: SturmGhost

Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}} [/mm]

Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Exponenten vereinfachen soll? Das verwirrt mich...

Der Nenner geht doch so:

[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{2*n}} [/mm]

Oder?

Aber der Zähler?!

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 So 01.12.2013
Autor: reverend

Hallo SturmGhost,

Du missachtest eine Notationskonvention.

> Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}[/mm]

Auf den ersten Blick: 1. Aber erst mal sehen, ob das stimmt und wie man es zeigen kann.

> Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Exponenten
> vereinfachen soll? Das verwirrt mich...
>
> Der Nenner geht doch so:
>  
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{2*n}}[/mm]
>  
> Oder?

Nein, bestimmt nicht. [mm] (n^2+4)^{2^n}=(n^2+4)^{(2^n)}\not=((n^2+4)^2)^n [/mm]

> Aber der Zähler?!

[mm] \bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}=\bruch{(n^2-4)*(n^2)^{n^2-1}}{(n^2+4)*(n^2+4)^{n^2-1}}=\left(1-\bruch{8}{n^2+4}\right)*\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2-1}>\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2} [/mm]

Wenn Du jetzt mal [mm] k:=n^2 [/mm] setzt, siehst Du vielleicht mehr.

Tipp (wenn auch kein einfacher): e-Funktion.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 So 01.12.2013
Autor: SturmGhost


> Hallo SturmGhost,
>  
> Du missachtest eine Notationskonvention.
>  
> > Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:
>  >  
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}[/mm]
>  
> Auf den ersten Blick: 1. Aber erst mal sehen, ob das stimmt
> und wie man es zeigen kann.

Wie auch immer du das sofort gesehen hast...?!

>  
> > Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Exponenten
> > vereinfachen soll? Das verwirrt mich...
> >
> > Der Nenner geht doch so:
>  >  
> > [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{2*n}}[/mm]
>  
> >  

> > Oder?
>  
> Nein, bestimmt nicht.
> [mm](n^2+4)^{2^n}=(n^2+4)^{(2^n)}\not=((n^2+4)^2)^n[/mm]
>  

Okay, du hast recht.

> > Aber der Zähler?!
>
> [mm]\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}=\bruch{(n^2-4)*(n^2)^{n^2-1}}{(n^2+4)*(n^2+4)^{n^2-1}}=\left(1-\bruch{8}{n^2+4}\right)*\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2-1}>\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2}[/mm]
>  


Ich verstehe schon die erste Umformung nicht. Wieso kannst du im Zähler auf einmal eine Klammer setzen und dann wird aus -2 dann -1?

Was hast du da im Nenner getan?

> Wenn Du jetzt mal [mm]k:=n^2[/mm] setzt, siehst Du vielleicht mehr.
>  
> Tipp (wenn auch kein einfacher): e-Funktion.
>  

Meinst du [mm] (\bruch{n+1}{n})^n=e? [/mm]

> Grüße
>  reverend

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 So 01.12.2013
Autor: Valerie20


> > Hallo SturmGhost,


> >
> >
> [mm]\bruch{(n^2-4)*n^{2n^2-2}}{(n^2+4)^{n^2}}=\bruch{(n^2-4)*(n^2)^{n^2-1}}{(n^2+4)*(n^2+4)^{n^2-1}}=\left(1-\bruch{8}{n^2+4}\right)*\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2-1}>\left(1-\bruch{4}{n^2+4}\right)^{n^2}[/mm]
> >

>
>

> Ich verstehe schon die erste Umformung nicht. Wieso kannst
> du im Zähler auf einmal eine Klammer setzen und dann wird
> aus -2 dann -1?

>

> Was hast du da im Nenner getan?

das sind elementare Potenzregeln.

[mm] $x^{a\cdot b}=(x^a)^b$ [/mm]

Im Nenner dassselbe:

[mm] $a^x=a\cdot a^{x-1}=a\cdot a\cdot a^{x-2}.....$ [/mm]

> > Wenn Du jetzt mal [mm]k:=n^2[/mm] setzt, siehst Du vielleicht mehr.
> >
> > Tipp (wenn auch kein einfacher): e-Funktion.
> >


Versuche es einfach mal mit Reverends Tipp auf eine Lösung zu kommen. Ja, die Darstellung ist gemeint.
Ihr habt dazu bestimmt ähnliche Aufgaben in den Übungen behandelt.

Valerie

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