Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 22.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Bestimme
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Hi,
ist auf den ersten Blick Null.
Allerdings kann ich den Grenzwertsatz ja nicht anwenden
da beide Teilfolgen [mm] \wurzel{n+1} [/mm] und [mm] \wurzel{n} [/mm] divergieren, oder?
Daher muss ich das mit epsilon machen.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben
z.z.: [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N | [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
oder geht das auch anders? Ich tue mich mit dem epsilon immer sehr schwer.
Woher weiß ich, wie ich mein N bestimmen soll?
LG
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Hallo SpOony,
> Bestimme
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
> Hi,
>
> ist auf den ersten Blick Null.
> Allerdings kann ich den Grenzwertsatz ja nicht anwenden
> da beide Teilfolgen [mm]\wurzel{n+1}[/mm] und [mm]\wurzel{n}[/mm]
> divergieren, oder?
>
> Daher muss ich das mit epsilon machen.
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gegeben
>
> z.z.: [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N | [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> oder geht das auch anders?
Ja!
> Ich tue mich mit dem epsilon immer sehr schwer.
> Woher weiß ich, wie ich mein N bestimmen soll?
Das ist etwas "frickelig", am besten berufst du dich doch auf die Grenzwertsätze, nachdem du die Ausgangsfolge etwass umgeformt hast.
Bei solchen Differenzen (oder Summen) von Wurzeln empfiehlt es sich immer, so zu erweitern, dass du die 3. binomische Formel hinbekommst und die Wurzelterme wegfallen.
Hier erweitere $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ mit $\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
Das gibt dir $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
Das strebt nun für $n\to\infty$ gegen $\frac{1}{\infty}=0$
Diese Umformung mit dem Erweitern und Anwenden der 3.binom. Formel kannst du auch in einem $\varepsilon$-Beweis verwenden
Du formst $|a_n-0|=|a_n|=a_n$ wie oben um bis zu $...=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ und musst das weiter nach oben abschätzen
$\le \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$
Das soll nun $<\varepsilon$ sein, kannst du damit dein $N(\varepsilon)$ berechnen?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 22.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
Vielen Dank.
Die Lösung oben reicht ja aus. Trotzdem würd ich gern das mit dem epsilon besser verstehen )-:
Hab also
[mm] \frac{1}{2\sqrt{n}}
[/mm]
> Das soll nun [mm]<\varepsilon[/mm] sein, kannst du damit dein
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] berechnen?
muss ich das N dann über das epsilon beschreiben um sagen zu können, dass
[mm] \frac{1}{2\sqrt{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
etwa [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{N}}
[/mm]
dann hab ich [mm] \frac{1}{2\sqrt{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{N}} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] ?
LG
SpoOny
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank.
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> Die Lösung oben reicht ja aus. Trotzdem würd ich gern das
> mit dem epsilon besser verstehen )-:
ok, gute Intention 
>
> Hab also
>
> [mm]\frac{1}{2\sqrt{n}}[/mm]
>
> > Das soll nun [mm]<\varepsilon[/mm] sein, kannst du damit dein
> > [mm]N(\varepsilon)[/mm] berechnen?
>
> muss ich das N dann über das epsilon beschreiben ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> um sagen zu können, dass
> [mm]\frac{1}{2\sqrt{n}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> etwa [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{N}}[/mm]
Du musst nach n auflösen, und es in Abh. von [mm] $\varepsilon$ [/mm] darstellen, daher wird ja das $N$ auch [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] bezeichnet, um eben diese Abhängigkeit anzudeuten
>
> dann hab ich [mm]\frac{1}{2\sqrt{n}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{\wurzel{N}}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] ?
Hmm, keine Gleichheit hier.
Machen wir eine Schmierblattrechnung, die nicht in den endgültigen Beweis nachher gehört.
Es soll [mm] $\frac{1}{2\sqrt{n}}\overset{!}{<}\varepsilon$ [/mm] sein
Übergang zum Kehrbruch: also soll sein [mm] $2\sqrt{n}>\frac{1}{\varepsilon}$, [/mm] also [mm] $\sqrt{n}>\frac{1}{2\varepsilon}$
[/mm]
Und damit [mm] $n>\frac{1}{4\varepsilon^2}$
[/mm]
Wähle also dein [mm] $N>\frac{1}{4\varepsilon^2}$, [/mm] etwa [mm] $N:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1$ [/mm] ([] ist die Gaußklammer)
Damit kannst du deinen Beweis aufschreiben:
Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $N:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
.... hier nun die ganze Abschätzungskette [mm] $|a_n-a|\le [/mm] ... < ... [mm] \le [/mm] ... [mm] <\varepsilon$
[/mm]
>
> LG
>
> SpoOny
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 22.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
Die Schmierzettelrechnugn gefällt mir (-:
> Wähle also dein [mm]N>\frac{1}{4\varepsilon^2}[/mm], etwa
> [mm]N:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1[/mm] ([] ist die
> Gaußklammer)
>
> Damit kannst du deinen Beweis aufschreiben:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle
> [mm]N:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1[/mm], dann gilt für
> alle [mm]n\ge N[/mm]:
Gaußklammer ist sicher da N eine natürliche Zahl sein muss und
+1 da es echt größer sein muss als [mm] \frac{1}{4\varepsilon^2} [/mm] ??
[mm] |a_n-a|\le [/mm] ... [mm] \le \bruch{1}{2 \wurzel{n}} \le \bruch{1}{2\wurzel{N}} \le \bruch{1}{2\wurzel{[\bruch{1}{4\varepsilon^2}]+1}} [/mm]
hier hab ich wegen dem +1 und der Gaußklammer Probleme.
Wie schätze ich jetzt weiter ab? Vielen dank
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Hallo nochmal,
war gerade baden, daher die späte Antwort
> Die Schmierzettelrechnugn gefällt mir (-:
>
>
> > Wähle also dein [mm]N>\frac{1}{4\varepsilon^2}[/mm], etwa
> > [mm]N:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1[/mm] ([] ist die
> > Gaußklammer)
> >
> > Damit kannst du deinen Beweis aufschreiben:
> >
> > Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle
> > [mm]N:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1[/mm], dann gilt für
> > alle [mm]n\ge N[/mm]:
>
> Gaußklammer ist sicher da N eine natürliche Zahl sein muss
> und
> +1 da es echt größer sein muss als
> [mm]\frac{1}{4\varepsilon^2}[/mm] ??
Jo, um sicherzustellen, dass wir mit $N$ die nach [mm] $\frac{1}{4\varepsilon^2}$ [/mm] nächstgrößere natürliche Zahl erwischen, du kannst aber auch einfach "lachs" schreiben: "Wähle [mm] $N>\frac{1}{4\varepsilon^2}$" [/mm] ..., das streicht dir keiner an, aber mit der Gaußklammer ist es ganz exakt
>
> [mm]|a_n-a|\le[/mm] ... [mm]\le \bruch{1}{2 \wurzel{n}} \le \bruch{1}{2\wurzel{N}} \le \bruch{1}{2\wurzel{[\bruch{1}{4\varepsilon^2}]+1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> hier hab ich wegen dem +1 und der Gaußklammer Probleme.
> Wie schätze ich jetzt weiter ab? Vielen dank
Du kannst dir schnell überlegen, dass für die Gaußklammer gilt:
$[x] \ \le \ x \ < \ [x]+1$, also hier für uns von Bedeutung $[x]+1 \ > \ x$, also $\frac{1}{[x]+1} \ < \ \frac{1}{x}$
Damit ausgehend vom letzten Bruch $\bruch{1}{2\wurzel{\red{\left[\bruch{1}{4\varepsilon^2}\right]+1}}}} \ < \ \bruch{1}{2\wurzel{\red{\bruch{1}{4\varepsilon^2}}}}$
Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion macht es keine Probleme, wenn wir noch die Wurzel auf die oben erwähnte Abschätzung der Gaußklammer knallen
Der Rest der Abschätzung sollte klar sein ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Sa 22.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
Danke. Hab es jetzt verstanden. Jedenfalls bei dieser Aufgabe. Brauche sicher noch mehr um mit der epsilon-Definition klar zu kommen.
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