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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Sa 30.06.2012
Autor: rollroll

Aufgabe
Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{exp(\wurzel{log(x)})}{\wurzel[n]{x}} [/mm] = 0 für alle n [mm] \in [/mm] IN

Hallo, ich bräuchte einen kurzen Tipp, wie ich den Zähler umformen kann...
(L'Hospital hatte ich noch nicht :-))

        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Sa 30.06.2012
Autor: M.Rex

Hallo

Hier macht es mehr Sinn, den Nenner umzuformen

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{\wurzel[n]{x}} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{exp(\log(\sqrt[n]{x}))} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} \exp(\wurzel{log(x)})-\log(\sqrt[n]{x})) [/mm]


Kommst du damit schon weiter?

Marius


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 18:06 Sa 30.06.2012
Autor: Helbig

Hallo Marius,

da hast Du Dich wohl verrechnet:

> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{exp(\log(\sqrt[n]{x}))}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \exp\left(\frac{\sqrt{log(x)}}{\log(\sqrt[n]{x})}\right)[/mm]
>  

Ich denke, die Gleichung stimmt nicht.

Gruß,
Wolfgang



Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 18:10 Sa 30.06.2012
Autor: M.Rex


> Hallo Marius,

Hallo Wolfgang

>  
> da hast Du Dich wohl verrechnet:
>  
> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{exp(\log(\sqrt[n]{x}))}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \exp\left(\frac{\sqrt{log(x)}}{\log(\sqrt[n]{x})}\right)[/mm]
>  
> >  

>
> Ich denke, die Gleichung stimmt nicht.


Stimmt, danke für den Hinweis ich korrigiere.

>  
> Gruß,
>  Wolfgang

Marius


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:10 Sa 30.06.2012
Autor: Richie1401


>
>
> Hallo
>  
> Hier macht es mehr Sinn, den Nenner umzuformen
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{\wurzel[n]{x}}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{exp(\log(\sqrt[n]{x}))}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \exp\left(\frac{\sqrt{log(x)}}{\log(\sqrt[n]{x})}\right)[/mm]

Ach, echt? Werden die Exponenten nicht subtrahiert?
Übersehe ich irgendwas?

>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \exp\left(\frac{\sqrt{log(x)}}{\sqrt{\left(\log(\sqrt[n]{x})\right)^{2}}}\right)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \exp\left(\sqrt{\frac{log(x)}{\left(\log(\sqrt[n]{x})\right)^{2}}}\right)[/mm]
>  
> Kommst du damit schon weiter?
>  
> Marius
>  


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:12 Sa 30.06.2012
Autor: M.Rex


> >
> >
> > Hallo
>  >  
> > Hier macht es mehr Sinn, den Nenner umzuformen
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{\wurzel[n]{x}}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\exp(\wurzel{log(x)})}{exp(\log(\sqrt[n]{x}))}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \exp\left(\frac{\sqrt{log(x)}}{\log(\sqrt[n]{x})}\right)[/mm]
>  
> Ach, echt? Werden die Exponenten nicht subtrahiert?
>  Übersehe ich irgendwas?

Nein, du hast alles korrekt gesehen, ich habe mich vertan

Marius


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Sa 30.06.2012
Autor: rollroll

Und wie lautet die Umformung jetzt richtig, bin gerade verwirrt...??

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Sa 30.06.2012
Autor: rollroll

Also ich meine: Welche Umformung ist denn korrekt?

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Sa 30.06.2012
Autor: Richie1401

Die obige von Mr. Rex.

Ich habe lediglich zeitgleich mit Wolfgang geantwortet - daher der "Doppelpost".

Rex hat ja aber seine Antwort geändert. Es stimmt also obiges. (1. Antwort nach deine Frage)

Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Sa 30.06.2012
Autor: rollroll

Vermutlich muss ich wohl zeigen , dass das Argument gegen 0 geht, damit [mm] e^0=1. [/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich das machen soll...

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: noch ein Tip
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 30.06.2012
Autor: Helbig


> Vermutlich muss ich wohl zeigen , dass das Argument gegen 0
> geht, damit [mm]e^0=1.[/mm]
>  Leider weiß ich nicht, wie ich das machen soll...

Das spricht schon mal für Dich! Das Argument geht nämlich nicht gegen 0:

Mach mal so weiter:

[mm] $\sqrt {\log x} [/mm] - [mm] \log \root [/mm] n [mm] \of [/mm] x = [mm] \sqrt {\log x} [/mm] - [mm] \frac [/mm] 1 n [mm] \log [/mm] x = [mm] \ldots$ [/mm]

Irgendwann solltest Du dann sehen, daß das Argument gegen [mm] $-\infty$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$ [/mm] geht.

Grüße,
Wolfgang


Bezug
        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 So 01.07.2012
Autor: fred97

Substituiere [mm] x=e^{nt} [/mm]

Dann bekommst Du [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}e^{a(t)}, [/mm] wobei a(t) [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] für t [mm] \to \infty [/mm]

FRED

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