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Hallo,
ich verzweifele im Moment an ein paar Grenzwerte:
a.) [mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{n^2+2n-1}{(2n+1)(n+3}
[/mm]
Ich geb da immer große Zahlen ein für n (10000 oder 100000) und schau was passiert. Da kommt bei mir immer knapp 5 raus, deswegen dachte ich das da die Funktion gegen 5 strebt, das ist aber falsch.
Wie rechne ich solche Grenzwerte? Gibt es dafür nen Rechenweg oder ist das nur Überlegen?
b. [mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{3n^2 (n+1)!}{n(n^2-1)n!}
[/mm]
Hier bringt mich die Fakultät total raus.
Gibt es dafür auch nen Rechenweg?
Danke schonmal.
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Hallo Verzweifelt,
> ich verzweifele im Moment an ein paar Grenzwerte:
Dativ. Da fehlt ein "n". 
> a.) [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{n^2+2n-1}{(2n+1)(n+3}[/mm]
>
> Ich geb da immer große Zahlen ein für n (10000 oder
> 100000) und schau was passiert.
Igitt. Wer lässt denn den Taschenrechner denken?
> Da kommt bei mir immer
> knapp 5 raus, deswegen dachte ich das da die Funktion gegen
> 5 strebt, das ist aber falsch.
Dann gibst Du auch falsch ein. Da sollte der Wert längst in der Gegend von [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] liegen!
> Wie rechne ich solche Grenzwerte? Gibt es dafür nen
> Rechenweg oder ist das nur Überlegen?
Kürze [mm] n^2 [/mm] aus dem Bruch heraus, also im Zähler [mm] n^2 [/mm] ausklammern, im Nenner aus jedem der beiden Faktoren jeweils n ausklammern.
> b. [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{3n^2 (n+1)!}{n(n^2-1)n!}[/mm]
>
> Hier bringt mich die Fakultät total raus.
$(n+1)!=(n+1)*n!$
> Gibt es dafür auch nen Rechenweg?
Bis auf die Definition der Fakultät (siehe zwei Zeilen oberhalb) gilt der gleiche Tipp wie bei Aufgabe a, nur dass man hier [mm] n^3 [/mm] ausklammert. Mit anderen Worten: immer die höchste Potenz von n.
Grüße
reverend
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Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Wie klammer ich denn [mm] n^2 [/mm] aus dem Zähler aus? Ich hab angefangen den gesamten Bruch durch [mm] n^2 [/mm] zu teilen, aber ich versteh nicht was ich davon hab, denn das [mm] n^2 [/mm] krieg ich nie aus dem Bruch raus, da ja nicht jede Zahl ein [mm] n^2 [/mm] mit sich bringt.
Genauso weiß ich nicht wie ich das aus den Faktoren ausklammern soll.
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Hallo nochmal,
> Wie klammer ich denn [mm]n^2[/mm] aus dem Zähler aus? Ich hab
> angefangen den gesamten Bruch durch [mm]n^2[/mm] zu teilen, aber ich
> versteh nicht was ich davon hab, denn das [mm]n^2[/mm] krieg ich nie
> aus dem Bruch raus, da ja nicht jede Zahl ein [mm]n^2[/mm] mit sich
> bringt.
[mm] \bruch{n^2+2n-1}{(2n+1)(n+3)}=\bruch{n^2*\left(1+\bruch{2}{n}-\bruch{1}{n^2}\right)}{n*\left(2+\bruch{1}{n}\right)*n*\left(1+\bruch{3}{n}\right)}
[/mm]
> Genauso weiß ich nicht wie ich das aus den Faktoren
> ausklammern soll.
So wie oben. Jetzt kannst Du [mm] n^2 [/mm] herauskürzen und Deinen Grenzübergang machen. Fast alle Teilterme verschwinden, es bleibt nur [mm] \tfrac{1}{2*1}.
[/mm]
Grüße
reverend
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Es tut mir echt leid, aber ich steh total auf dem Schlauch.
[mm] n^2 [/mm] kann ich mit den beiden n`s kürzen, aber der Rest? Ich hab jetzt schon 2mal versucht die Klammern im Nenner auszumultiplizieren, weil weiter kürzen darf ich ja nicht, weil oben nur ne Summe steht....
Wie soll da am Ende nur [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stehen bleiben?
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Hallo Verzweifelt,
> Es tut mir echt leid, aber ich steh total auf dem
> Schlauch.
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> [mm]n^2[/mm] kann ich mit den beiden n's kürzen, aber der Rest? Ich
> hab jetzt schon 2mal versucht die Klammern im Nenner
> auszumultiplizieren, weil weiter kürzen darf ich ja nicht,
> weil oben nur ne Summe steht....
>
> Wie soll da am Ende nur [mm]\bruch{1}{2}[/mm] stehen bleiben?
>
Lass nach dem Kürzen [mm]n \to \infty[/mm] laufen.
Gruss
MathePower
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