Grenzwert bestimmen ( Teil 2 ) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme folgende Grenzwerte:
1. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{ln(x^2)}[/mm]
2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(\bruch{1}{n}+1)}{sin(\bruch{2}{n})}[/mm]
3. [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} [/mm]
4. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm] |
Guten Abend :)
Zu 1: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{ln(x^2)}[/mm]
Nenner und Zähler gehen gegen unendlich, wobei der Zähler viel schneller wächst.
Also kann/muss ich hier den Satz von l'Hospital bemühen.
Satz von l'Hospital:
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f'(x)}{g'(x)} = c \Rightarrow \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)}{g(x)} = c [/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} = \bruch{1}{\bruch{1}{x^2}*2x} = \bruch{x}{2}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{f'(x)}{g'(x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2} = \infty[/mm]
Die erste Funktion kovergiert also uneigentlich.
Richtig?
Zu 2: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(\bruch{1}{n}+1)}{sin(\bruch{2}{n})}[/mm]
Bekannt ist, dass
1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0[/mm]
2. [mm]ln(1) = 0[/mm]
3. [mm]sin(0) = 0[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(\bruch{1}{n}+1)}{sin(\bruch{2}{n})} = \bruch{0}{0}[/mm]
Hier kann nun der Satz von l'Hospital angewendet werden.
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f'(x)}{g'(x)} = c \Rightarrow \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)}{g(x)}= c [/mm]
Nebenrechnung:
[mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-n^{-2})}{cos(\bruch{2}{n})*(-2n^{-2})} = \bruch{1}{( \bruch{1}{n}+1)*cos(\bruch{2}{n})*(-\bruch{1}{n^2})}[/mm]
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{f'(x)}{g'(x)} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{( \bruch{1}{n}+1)*cos(\bruch{2}{n})*(-\bruch{1}{n^2})} = \bruch{1}{1*1*0} = \bruch{1}{0}[/mm]
Hier kann etwas nicht stimmen.. :(
Was habe ich falsch gemacht?
Erstmal bis hier.
Soll ich die anderen beiden Aufgaben auch hier bearbeiten, oder einen neuen Diskussionsstrang öffnen?
Vielen Dank für jede Hilde.
Viele Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Du solltest das Kürzen von [mm] -\bruch{1}{n^2} [/mm] in deiner zweiten Nebenrechnung nochmal überprüfen.
Sonst ist es ok.
Gruß Sax.
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Hallo Sax :)
Vielen Dank, dass du mir hilfst :)
> Hi,
>
> Du solltest das Kürzen von [mm]-\bruch{1}{n^2}[/mm] in deiner
> zweiten Nebenrechnung nochmal überprüfen.
Du hast Recht, da war ich mir auch nicht ganz sicher.
Aber ich sehe gerade, bevor ich überhaupt kürze, sieht es für mich so aus, als müsse ich wieder den Satz von l'Hospital anwenden, denn
[mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-n^{-2})}{cos(\bruch{2}{n})*(-2n^{-2})} = \bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-\bruch{1}{n^2})}{cos(\bruch{2}{n})*(-\bruch{2}{n^2})}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-\bruch{1}{n^2})}{cos(\bruch{2}{n})*(-\bruch{2}{n^2})} = \bruch{1*0}{1*0} = \bruch{0}{0}[/mm]
Also wieder Satz von l'Hospital.
Oder habe ich da etwas falsch gemacht?
> Sonst ist es ok.
Okay, das freut mich :)
Dankeschön, Sax :)
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
mit "überprüfen" meinte ich nicht, dass man nicht kürzen kann, sondern dass du dabei einen Fehler gemacht hast.>
>
> Aber ich sehe gerade, bevor ich überhaupt kürze, sieht es
> für mich so aus, als müsse ich wieder den Satz von
> l'Hospital anwenden, denn
>
Nein. Erst kürzen! Nachher ist es vielleicht zu spät, wie so oft im Leben.
Gruß Sax.
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Okay, neuer Versuch :)
[mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-n^{-2})}{cos(\bruch{2}{n})*(-2n^{-2})} = \bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-\bruch{1}{n^2})}{cos(\bruch{2}{n})*(-\bruch{2}{n^2})} = \bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1}*(-\bruch{2}{n^2})*0.5}{cos(\bruch{2}{n})*(-\bruch{2}{n^2})} = \bruch{(\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1})*0.5}{cos(\bruch{2}{n})}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1})*0.5}{cos(\bruch{2}{n})} = \bruch{1*0.5}{1} = \bruch{1}{2}[/mm]
> > Aber ich sehe gerade, bevor ich überhaupt kürze, sieht es
> > für mich so aus, als müsse ich wieder den Satz von
> > l'Hospital anwenden, denn
> >
> Nein. Erst kürzen! Nachher ist es vielleicht zu spät, wie
> so oft im Leben.
Kann das wirklich passieren, dass man ein anderes Ergebnis erhält, wenn man mal nicht kürzt?
Viele Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Ein anderes Ergebnis dürfte es nicht geben. Mit "zu spät" ist eher gemeint, dass der Term und die weitere Rechnung unnötig kompliziert werden.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 13.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hey Loddar :)
> Ein anderes Ergebnis dürfte es nicht geben. Mit "zu spät"
> ist eher gemeint, dass der Term und die weitere Rechnung
> unnötig kompliziert werden.
Okay, das kann ich bei diesem Beispiel auch nachvollziehen. Jetzt nochmal l'Hospital ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Grüße,
Lisa
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3. [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} [/mm]
4. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
Zu 3: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} [/mm]
Beim Arkustangens muss ich nur wissen, dass arctan(0) = 0 ist, oder?
Oder gibt es da noch wichtige Stellen?
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = \bruch{0}{0}[/mm]
Satz von l'Hospital
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{(x^2+1)^2}*2x}{2*cos(x)} = \bruch{0*\infty}{\infty}[/mm]
Kann man hier nun nochmal l'Hospital anwenden?
Der Zähler muss dazu unendlich sein, aber da steht ja 0 Mal Unendlich..
Wie ist das definiert?
Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
Also für [mm]a < 1[/mm] geht der Nenner gegen Null, ansonsten gegen unendlich.
Und der Zähler geht auch gegen unendlich.
Also darf ich hier wieder l'Hospital anwenden.
Ist das eigentlich "klar", dass Zähler und Nenner gegen unendlich für a<1 gehen? Also für mich schon, aber muss man das in einer Klausur noch erklären, beweisen?
Satz von l'Hospital
[mm]\bruch{x^k}{a^x} = \bruch{e^{k*ln(x)}}{e^{x*ln(a)}}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*\bruch{1}{x}*x^k}{ln(a)*a^x} = \bruch{k*0*\infty}{\infty*\infty} = \bruch{?}{\infty}[/mm]
Hier habe ich wieder das gleiche Problem.
Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
du arbeitest viel. Lass Dir auch noch Zeit zu leben. 
> 3. [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> 4. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> Zu 3: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> Beim Arkustangens muss ich nur wissen, dass arctan(0) = 0
> ist, oder?
> Oder gibt es da noch wichtige Stellen?
Keine, die hier relevant wären. Ansonsten ist natürlich die Periodizität der Tangens-Funktion zu bedenken.
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = \bruch{0}{0}[/mm]
Ja, das schreibt man oft so, aber eigentlich ist es vollkommen inkorrekt. Besser ist es zu notieren, dass Zähler und Nenner hier gegen Null gehen.
> Satz von l'Hospital
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{(x^2+1)^2}*2x}{2*cos(x)} = \bruch{0*\infty}{\infty}[/mm]
Hier stimmt weder die Ableitung des Zählers noch die des Nenners.
> Kann man hier nun nochmal l'Hospital anwenden?
> Der Zähler muss dazu unendlich sein, aber da steht ja 0
> Mal Unendlich..
> Wie ist das definiert?
Das ist nicht definiert, sondern auch ein typischer Fall für den Marquis vom Krankenhaus.
Erstmal gilt es aber, hier die richtigen Ableitung zu finden.
> Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
>
> Also für [mm]a < 1[/mm] geht der Nenner gegen Null, ansonsten gegen
> unendlich.
> Und der Zähler geht auch gegen unendlich.
>
> Also darf ich hier wieder l'Hospital anwenden.
Da scheint sich doch erstmal eine Fallunterscheidung anzubieten...
> Ist das eigentlich "klar", dass Zähler und Nenner gegen
> unendlich für a<1 gehen?
Hattest Du nicht gerade etwas anderes (und Richtiges) erklärt?
Oder meinst Du a>1? Ich plädiere hier doch sehr stark für die Fallunterscheidung.
> Also für mich schon, aber muss
> man das in einer Klausur noch erklären, beweisen?
Nein, das darf man als elementar voraussetzen - solange es sauber ist. Hatte ich die Notwendigkeit einer Fallunterscheidung schon betont?
> Satz von l'Hospital
>
> [mm]\bruch{x^k}{a^x} = \bruch{e^{k*ln(x)}}{e^{x*ln(a)}}[/mm]
Den Zähler muss man hier nicht umformen. Bestimmt nicht.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*\bruch{1}{x}*x^k}{ln(a)*a^x} = \bruch{k*0*\infty}{\infty*\infty} = \bruch{?}{\infty}[/mm]
>
> Hier habe ich wieder das gleiche Problem.
Das Fragezeichen steht zu Recht da. Was ist denn die Ableitung von [mm] $x^k$? [/mm] Also z.B. von [mm] $x^{25}$? [/mm] Immerhin war ja [mm] k\in\IN [/mm] vorausgesetzt.
Grüße
reverend
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***gekürzte Fassung vom Original***
> Hallo Lisa,
Hallo Reverend :)))))
> du arbeitest viel. Lass Dir auch noch Zeit zu leben.
Ich will unbedingt diese Klausur genauso gut, wie die letze Klausur schreiben.
Aber nach der Klausur werde ich mir deinen Ratschlag zu Herzen nehmen :)
> > Beim Arkustangens muss ich nur wissen, dass arctan(0) = 0
> > ist, oder?
> > Oder gibt es da noch wichtige Stellen?
>
> Keine, die hier relevant wären. Ansonsten ist natürlich
> die Periodizität der Tangens-Funktion zu bedenken.
Okay, das muss ich dann noch einmal wiederholen.
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = \bruch{0}{0}[/mm]
>
> Ja, das schreibt man oft so, aber eigentlich ist es
> vollkommen inkorrekt. Besser ist es zu notieren, dass
> Zähler und Nenner hier gegen Null gehen.
Okay, dann werde ich das so machen. Oder ich schreibe anstatt [mm]=\bruch{0}{0}[/mm] einfach direkt die Ableitungen hin, denn so ist doch der Satz definiert:
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f'(x)}{g'(x)} = c \Rightarrow \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)}{g(x)} = c[/mm]
Also [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)} = \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
Aber warum ist es eigentlich vollkommen inkorrekt zu schreiben [mm]= \bruch{0}{0}[/mm] ?
> > Satz von l'Hospital
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{(x^2+1)^2}*2x}{2*cos(x)} = \bruch{0*\infty}{\infty}[/mm]
>
> Hier stimmt weder die Ableitung des Zählers noch die des
> Nenners.
Die Ableitung von [mm]f(x) := arctan(x^2) (x \in\IR)[/mm] ist gegeben durch [mm]f'(x) = \bruch{2x}{x^4+1} (x \in\IR)[/mm].
Bei [mm]sin^2(x)[/mm] muss man doch die Kettenregel anwenden?
Aber was bedeutet der Exponent 2 bei dem Sinus?
Die äußere Funktion ist [mm]g(x):= sin(x)[/mm] oder [mm]g(x):= sin^2(x)[/mm]??
Die innere Funktion ist einfach [mm]h(x) := x[/mm].
Wie geht man hier vor? Ich stehe hier gerade auf dem Schlauch.. :/
> > Kann man hier nun nochmal l'Hospital anwenden?
> > Der Zähler muss dazu unendlich sein, aber da steht ja 0
> > Mal Unendlich..
> > Wie ist das definiert?
>
> Das ist nicht definiert, sondern auch ein typischer Fall
> für den Marquis vom Krankenhaus.
> > Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> >
> >
> > Also für [mm]a < 1[/mm] geht der Nenner gegen Null, ansonsten gegen
> > unendlich.
> > Und der Zähler geht auch gegen unendlich.
> >
> > Also darf ich hier wieder l'Hospital anwenden.
>
> Da scheint sich doch erstmal eine Fallunterscheidung
> anzubieten...
... für [mm]a<1[/mm] und [mm]a>1[/mm].?
Für [mm]a=1[/mm] konvergiert die Funktion uneigentlich.
> > Satz von l'Hospital
> >
> > [mm]\bruch{x^k}{a^x} = \bruch{e^{k*ln(x)}}{e^{x*ln(a)}}[/mm]
>
> Den Zähler muss man hier nicht umformen. Bestimmt nicht.
>
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*\bruch{1}{x}*x^k}{ln(a)*a^x} = \bruch{k*0*\infty}{\infty*\infty} = \bruch{?}{\infty}[/mm]
>
> >
> > Hier habe ich wieder das gleiche Problem.
>
> Das Fragezeichen steht zu Recht da. Was ist denn die
> Ableitung von [mm]x^k[/mm]? Also z.B. von [mm]x^{25}[/mm]? Immerhin war ja
> [mm]k\in\IN[/mm] vorausgesetzt.
Oh, das ist ja einfach [mm]f'(x) : = k * x^{k-1}[/mm].
Das heißt für [mm]k=1[/mm] ist der Grenzwert mit x gegen unendlich 1.
Für [mm]k>1[/mm] ist er unendlich und das heißt ich kann wieder den Satz von l'Hospital anwenden.
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{ln(a)*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(k^2-k)x^{k-2}}{(ln(a))^2*a^x}[/mm]
Der Grenzwert des Nenners ist unendlich und der Grenzwert von dem Zähler ist für [mm]k=2[/mm] 2.
Für [mm]k>2[/mm] ist er wieder unendlich.
Also hängt der Grenzwert irgendwie von k ab, oder?
Für k=1 ist der Grenzwert 1 und für k=2 ist der Grenzwert 2, das ist doch kein Zufall, oder doch? Aber wie soll ich das beweisen?
Für a>1 wäre der Grenzwert des gesamten Bruchs Null.
Für a < 1 konvergiert der Bruch uneigentlich und für a=1 ist der Grenzwert k??
Liebste Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
> ***gekürzte Fassung vom Original***
>
> > du arbeitest viel. Lass Dir auch noch Zeit zu leben.
>
>
> Ich will unbedingt diese Klausur genauso gut, wie die
> letze Klausur schreiben.
> Aber nach der Klausur werde ich mir deinen Ratschlag zu
> Herzen nehmen :)
Na, bei der Vorarbeit hast du doch gute Chancen. Viel Erfolg dabei!
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = \bruch{0}{0}[/mm]
>
> >
> > Ja, das schreibt man oft so, aber eigentlich ist es
> > vollkommen inkorrekt. Besser ist es zu notieren, dass
> > Zähler und Nenner hier gegen Null gehen.
>
> Okay, dann werde ich das so machen. Oder ich schreibe
> anstatt [mm]=\bruch{0}{0}[/mm] einfach direkt die Ableitungen hin,
> denn so ist doch der Satz definiert:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f'(x)}{g'(x)} = c \Rightarrow \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)}{g(x)} = c[/mm]
Stimmt, aber auch dann wird man sich ja fragen, warum Du gleich anfängst abzuleiten. Im allgemeinen verwendet man ja einen gewöhnlichen Grenzwertsatz, hier [mm] \lim_{x\to x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}.
[/mm]
Dann stellt man fest, dass die beiden Limites zwar existieren, aber eben der [mm] Quotient\tfrac{0}{0} [/mm] nicht definiert ist und der Grenzwertsatz eben nicht anwendbar. Deswegen kommt dann ja l'Hospital.
Im Fall [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] kann man sich behelfen, indem man den ursprünglichen Quotienten umschreibt und [mm] \lim_{x\to x_0}\bruch{\bruch{1}{g(x)}}{\bruch{1}{f(x)}} [/mm] betrachtet, dann hat man auch wieder den Fall [mm] "\bruch{0}{0}".
[/mm]
> Also [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)} = \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
>
> Aber warum ist es eigentlich vollkommen inkorrekt zu
> schreiben [mm]= \bruch{0}{0}[/mm] ?
Na, weil der Grenzwert ja oft durchaus existiert. Gleichheit ist also nicht gegeben, denn [mm] \tfrac{0}{0} [/mm] ist nicht definiert und existiert daher auch nicht.
> > > Satz von l'Hospital
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{(x^2+1)^2}*2x}{2*cos(x)} = \bruch{0*\infty}{\infty}[/mm]
>
> >
> > Hier stimmt weder die Ableitung des Zählers noch die des
> > Nenners.
>
> Die Ableitung von [mm]f(x) := arctan(x^2) (x \in\IR)[/mm] ist
> gegeben durch [mm]f'(x) = \bruch{2x}{x^4+1} (x \in\IR)[/mm].
Ja, genau.
> Bei [mm]sin^2(x)[/mm] muss man doch die Kettenregel anwenden?
> Aber was bedeutet der Exponent 2 bei dem Sinus?
Diese Schreibweise hat sich eingebürgert, weil sie weniger fehleranfällig ist als die auch korrekte Schreibung [mm] (\sin{(x)})^2, [/mm] die das gleiche bedeutet. Vor allem gesprochen bzw. vorgelesen ist das sehr fehleranfällig, denn im allgemeinen ist ja [mm] \sin{(x^2)}\not=(\sin{(x)})^2=\sin^2{(x)}
[/mm]
> Die äußere Funktion ist [mm]g(x):= sin(x)[/mm] oder [mm]g(x):= sin^2(x)[/mm]??
>
> Die innere Funktion ist einfach [mm]h(x) := x[/mm].
> Wie geht man
> hier vor? Ich stehe hier gerade auf dem Schlauch.. :/
Die äußere Funktion ist [mm] g(f)=f^2, [/mm] die innere ist [mm] f(x)=\sin{(x)}.
[/mm]
Die Ableitung ist dann also [mm] \bruch{d}{dx}\sin^2{(x)}=2\sin{(x)}\cos{(x)}=\sin{(2x)}
[/mm]
> > > Kann man hier nun nochmal l'Hospital anwenden?
> > > Der Zähler muss dazu unendlich sein, aber da steht
> ja 0
> > > Mal Unendlich..
Da entsteht kein unendlicher Term. Schau nochmal genau hin.
> > > Wie ist das definiert?
> >
> > Das ist nicht definiert, sondern auch ein typischer Fall
> > für den Marquis vom Krankenhaus.
>
>
>
> > > Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> > > Also für [mm]a < 1[/mm] geht der Nenner gegen Null, ansonsten gegen
> > > unendlich.
> > > Und der Zähler geht auch gegen unendlich.
> > >
> > > Also darf ich hier wieder l'Hospital anwenden.
> >
> > Da scheint sich doch erstmal eine Fallunterscheidung
> > anzubieten...
>
> ... für [mm]a<1[/mm] und [mm]a>1[/mm].?
> Für [mm]a=1[/mm] konvergiert die Funktion uneigentlich.
Richtig. Am sichersten ist es immer, alle drei Fälle zu betrachten. Für a=1 hast Du hier die richtige Lösung.
> > > Satz von l'Hospital
> > >
> > > [mm]\bruch{x^k}{a^x} = \bruch{e^{k*ln(x)}}{e^{x*ln(a)}}[/mm]
> >
> > Den Zähler muss man hier nicht umformen. Bestimmt nicht.
> >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*\bruch{1}{x}*x^k}{ln(a)*a^x} = \bruch{k*0*\infty}{\infty*\infty} = \bruch{?}{\infty}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hier habe ich wieder das gleiche Problem.
> >
> > Das Fragezeichen steht zu Recht da. Was ist denn die
> > Ableitung von [mm]x^k[/mm]? Also z.B. von [mm]x^{25}[/mm]? Immerhin war ja
> > [mm]k\in\IN[/mm] vorausgesetzt.
>
>
> Oh, das ist ja einfach [mm]f'(x) : = k * x^{k-1}[/mm].
Eben.
> Das heißt für [mm]k=1[/mm] ist der Grenzwert mit x gegen unendlich
> 1.
Du meinst den Grenzwert des Zählers.
> Für [mm]k>1[/mm] ist er unendlich und das heißt ich kann wieder
> den Satz von l'Hospital anwenden.
Nur, wenn a>1 ist.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{ln(a)*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(k^2-k)x^{k-2}}{(ln(a))^2*a^x}[/mm]
>
> Der Grenzwert des Nenners ist unendlich und der Grenzwert
> von dem Zähler ist für [mm]k=2[/mm] 2.
> Für [mm]k>2[/mm] ist er wieder unendlich.
>
> Also hängt der Grenzwert irgendwie von k ab, oder?
> Für k=1 ist der Grenzwert 1 und für k=2 ist der Grenzwert
> 2, das ist doch kein Zufall, oder doch? Aber wie soll ich
> das beweisen?
Du hast Recht, das ist kein Zufall.
Du kannst per Induktion zeigen, dass für jedes [mm] k\in\IN [/mm] der Grenzwert des Zählers gerade k! ist. Der gesamte Grenzwert aber ist dann für a>1 trotzdem 0, und darauf kommt es hier doch an.
> Für a>1 wäre der Grenzwert des gesamten Bruchs Null.
> Für a < 1 konvergiert der Bruch uneigentlich und für a=1
> ist der Grenzwert k??
Nein, da ist etwas durcheinander geraten. a>1 und a<1 stimmen so. Und a=1 hattest Du doch vorab schon richtig gelöst, aber anders.
Herzliche Grüße
reverend
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Hallo Reverend, schönen Valentinstag wünsche ich dir und allen anderen Helfern :)
> Na, bei der Vorarbeit hast du doch gute Chancen. Viel
> Erfolg dabei!
Dankeschön :)
Da ich aber schon morgen Abend die Klausur schreibe, muss ich noch dranbleiben und weiterüben :)
Zu 3: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
...
Bis hier habe ich alles verstande, danke :)
> Die äußere Funktion ist [mm]g(f)=f^2,[/mm] die innere ist
> [mm]f(x)=\sin{(x)}.[/mm]
Wie siehst du eigentlich sofort, was die äußere und was die Innere ist?
Besonders wenn die Funktion mehrfach verkettet ist.
Beispiel:
[mm]f(x) = (sin(x^2+x))^2[/mm]
Diese Funktion ist mehrfach verkettet, oder?
Ich hätte es so gemacht:
[mm]g(x) = x^2 + x
[/mm]
[mm]g'(x) = 2x +1[/mm]
[mm]h(g) = sin (g)[/mm]
[mm]h'(g) = cos (g)[/mm]
[mm]i(gh) = gh^2[/mm]
[mm]i'(gh) = 2gh[/mm]
Und die Ableitung müsste dann sein:
[mm]i'(h(g(x))) * h'(g(x)) * g'(x) = 2*sin(x^2+x) * cos(x^2+x) * (2x+1)[/mm]
Ich dachte das wäre richtig, aber WolframAlpha sagt etwas anderes :/
> Die Ableitung ist dann also
> [mm]\bruch{d}{dx}\sin^2{(x)}=2\sin{(x)}\cos{(x)}=\sin{(2x)}[/mm]
Okay, die Ableitung habe ich jetzt verstanden, nur verstehe ich den letzten Schritt [mm]=sin(2x)[/mm] nicht.
Wieso kann man sinus und cosinus zusammenfassen? Und wie kommt die 2 in die Klammer?
> > > > Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> >
> > > > Also für [mm]a < 1[/mm] geht der Nenner gegen Null, ansonsten gegen
> > > > unendlich.
> > > > Und der Zähler geht auch gegen unendlich.
> > > >
> > > > Also darf ich hier wieder l'Hospital anwenden.
> > >
> > > Da scheint sich doch erstmal eine Fallunterscheidung
> > > anzubieten...
> >
> > ... für [mm]a<1[/mm] und [mm]a>1[/mm].?
> > Für [mm]a=1[/mm] konvergiert die Funktion uneigentlich.
>
> Richtig. Am sichersten ist es immer, alle drei Fälle zu
> betrachten. Für a=1 hast Du hier die richtige Lösung.
>
> > > > Satz von l'Hospital
> > > >
> > > > [mm]\bruch{x^k}{a^x} = \bruch{e^{k*ln(x)}}{e^{x*ln(a)}}[/mm]
>
> > >
> > > Den Zähler muss man hier nicht umformen. Bestimmt nicht.
> > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*\bruch{1}{x}*x^k}{ln(a)*a^x} = \bruch{k*0*\infty}{\infty*\infty} = \bruch{?}{\infty}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Hier habe ich wieder das gleiche Problem.
> > >
> > > Das Fragezeichen steht zu Recht da. Was ist denn die
> > > Ableitung von [mm]x^k[/mm]? Also z.B. von [mm]x^{25}[/mm]? Immerhin war ja
> > > [mm]k\in\IN[/mm] vorausgesetzt.
> >
> >
> > Oh, das ist ja einfach [mm]f'(x) : = k * x^{k-1}[/mm].
>
> Eben.
>
> > Das heißt für [mm]k=1[/mm] ist der Grenzwert mit x gegen unendlich
> > 1.
>
> Du meinst den Grenzwert des Zählers.
Genau.
> > Für [mm]k>1[/mm] ist er unendlich und das heißt ich kann wieder
> > den Satz von l'Hospital anwenden.
>
> Nur, wenn a>1 ist.
Aber wie kann es sein, dass nach der 1.Ableitung der Grenzwert des Zählers für k=2 und a>1 unendlich ist und in der 2.Ableitung ist der Grenzwert des Zählers für k=2 und a>1 gleich 2.
Ist das nicht ein Widerspruch?
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{ln(a)*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(k^2-k)x^{k-2}}{(ln(a))^2*a^x}[/mm]
> >
> > Der Grenzwert des Nenners ist unendlich und der Grenzwert
> > von dem Zähler ist für [mm]k=2[/mm] 2.
> > Für [mm]k>2[/mm] ist er wieder unendlich.
> >
> > Also hängt der Grenzwert irgendwie von k ab, oder?
> > Für k=1 ist der Grenzwert 1 und für k=2 ist der Grenzwert
> > 2, das ist doch kein Zufall, oder doch? Aber wie soll ich
> > das beweisen?
>
> Du hast Recht, das ist kein Zufall.
> Du kannst per Induktion zeigen, dass für jedes [mm]k\in\IN[/mm]
> der Grenzwert des Zählers gerade k! ist.
K-Fakultät?
Darauf bin ich noch nicht gekommen.
Hast du noch die 3. und 4. Ableitung gemacht und dann gesehen, dass es k! ist?
> Der gesamte Grenzwert aber ist dann für a>1 trotzdem 0, und darauf
> kommt es hier doch an.
Aber ich muss doch sicher gehen (bzw. beweisen), ob das für alle k gilt, oder nicht?
Vielleicht gibt ein k für das der Grenzwert des Zählers unendlich ist.
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
ich hatte heute zwischendurch immer nur wenig Zeit, war deswegen nur mehrmals kurz im Forum.
Da hier der Text durch die Zitate lang wird, versuche ich mal, sinnvoll zu kürzen.
> Hallo Reverend, schönen Valentinstag wünsche ich dir und
> allen anderen Helfern :)
Danke. Es ist allerdings kein Tag, den ich irgendwie begehe.
> > Na, bei der Vorarbeit hast du doch gute Chancen. Viel
> > Erfolg dabei!
>
> Dankeschön :)
> Da ich aber schon morgen Abend die Klausur schreibe, muss
> ich noch dranbleiben und weiterüben :)
Oh, das ist aber schnell nach der letzten.
> Zu 3: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> ...
> Bis hier habe ich alles verstande, danke :)
>
>
> > Die äußere Funktion ist [mm]g(f)=f^2,[/mm] die innere ist
> > [mm]f(x)=\sin{(x)}.[/mm]
>
> Wie siehst du eigentlich sofort, was die äußere und was
> die Innere ist?
> Besonders wenn die Funktion mehrfach verkettet ist.
Ich lese einfach von außen nach innen. 
> Beispiel:
> [mm]f(x) = (sin(x^2+x))^2[/mm]
>
> Diese Funktion ist mehrfach verkettet, oder?
> Ich hätte es so gemacht:
>
> [mm]g(x) = x^2 + x[/mm]
> [mm]g'(x) = 2x +1[/mm]
>
> [mm]h(g) = sin (g)[/mm]
> [mm]h'(g) = cos (g)[/mm]
>
> [mm]i(gh) = gh^2[/mm]
> [mm]i'(gh) = 2gh[/mm]
Hier würde ich im Notationssystem bleiben:
[mm] i(h)=h^2
[/mm]
i'(h)=2h
> Und die Ableitung müsste dann sein:
> [mm]i'(h(g(x))) * h'(g(x)) * g'(x) = 2*sin(x^2+x) * cos(x^2+x) * (2x+1)[/mm]
>
> Ich dachte das wäre richtig, aber WolframAlpha sagt etwas
> anderes :/
Es ist richtig. Wölfchen hat wohl nur eine andere Darstellung - siehe den nächsten Punkt.
> > Die Ableitung ist dann also
> > [mm]\bruch{d}{dx}\sin^2{(x)}=2\sin{(x)}\cos{(x)}=\sin{(2x)}[/mm]
>
> Okay, die Ableitung habe ich jetzt verstanden, nur verstehe
> ich den letzten Schritt [mm]=sin(2x)[/mm] nicht.
> Wieso kann man sinus und cosinus zusammenfassen? Und wie
> kommt die 2 in die Klammer?
Ganz einfach: das ist ein Additionstheorem, hier genauer ein Doppelwinkelsatz, nur rückwärts angewandt.
> > > > > Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
> [...]
> Aber wie kann es sein, dass nach der 1.Ableitung der
> Grenzwert des Zählers für k=2 und a>1 unendlich ist und
> in der 2.Ableitung ist der Grenzwert des Zählers für k=2
> und a>1 gleich 2.
> Ist das nicht ein Widerspruch?
Nein, warum?
> [...]
> > Du hast Recht, das ist kein Zufall.
> > Du kannst per Induktion zeigen, dass für jedes [mm]k\in\IN[/mm]
> > der Grenzwert des Zählers gerade k! ist.
>
> K-Fakultät?
> Darauf bin ich noch nicht gekommen.
> Hast du noch die 3. und 4. Ableitung gemacht und dann
> gesehen, dass es k! ist?
Hm, habe ich nicht. Ich wusste, dass das so ist, wenn man [mm] x^k [/mm] gerade k-mal ableitet.
> > Der gesamte Grenzwert aber ist dann für a>1 trotzdem 0,
> und darauf
> > kommt es hier doch an.
>
> Aber ich muss doch sicher gehen (bzw. beweisen), ob das
> für alle k gilt, oder nicht?
> Vielleicht gibt ein k für das der Grenzwert des Zählers
> unendlich ist.
Nein, da nach k-maliger Ableitung eben immer ein endlicher Wert erreicht wird. Wird der Nenner ebensooft abgeleitet, bleibt da (für a>1) eben immer noch ein Wachstum über alle Grenzen.
Deswegen braucht man auch nur eine Fallunterscheidung a<1, a=1 und a>1, wovon man die ersten beiden Fälle dann auch noch zusammenfassen kann.
Grüße
reverend
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Gute Nacht Reverend :)
> > Hallo Reverend, schönen Valentinstag wünsche ich dir und
> > allen anderen Helfern :)
>
> Danke. Es ist allerdings kein Tag, den ich irgendwie
> begehe.
Das habe ich heute bzw. gestern leider von vielen Männern gehört :/
> Oh, das ist aber schnell nach der letzten.
Ja :/
Aber immerhin wird der Stoff so schön aufgeteilt und wir schreiben nicht eine ganz große Klausur.
> > Wie siehst du eigentlich sofort, was die äußere und was
> > die Innere ist?
> > Besonders wenn die Funktion mehrfach verkettet ist.
>
> Ich lese einfach von außen nach innen.
Okay, so mache ich das ab jetzt auch :)
Dann versuche ich es jetzt mal von vorne:
Zu 3: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{2x}{x^4+1}}{2*sin(x)*cos(x)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{2x}{x^4+1}}{sin(2x)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{2x}{(x^4+1)*sin(2x)} [/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{2}{4x^3*sin(2x)+(x^4+1)*cos(2x)*2} = \bruch{2}{0*0+1*1*2} = \bruch{2}{2} = 1 [/mm]
Nun richtig? :)
Darf ich das eigentlich auch so in der Klausur machen, wenn die Gleichung in der nächsten Zeile weiter geht, dass ich einfach in der Zeile darunter ein = schreibe und weitermache, oder gibt es ein Zeichen spezielles Zeichen dafür?
> > > > > > Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> > [...]
> > Aber wie kann es sein, dass nach der 1.Ableitung der
> > Grenzwert des Zählers für k=2 und a>1 unendlich ist und
> > in der 2.Ableitung ist der Grenzwert des Zählers für k=2
> > und a>1 gleich 2.
> > Ist das nicht ein Widerspruch?
>
> Nein, warum?
Da hatte ich einen Denkfehler. Das sind dann ja zwei verschiedene Funktionen, ich dachte für k=2 und a>1 muss sowohl bei der 1. als auch bei der 2.Ableitung der gleiche Grenzwert rauskommen.
> Deswegen braucht man auch nur eine Fallunterscheidung a<1,
> a=1 und a>1, wovon man die ersten beiden Fälle dann auch
> noch zusammenfassen kann.
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{ln(a)*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*(k-1)*x^{k-2}}{ln(a)^2*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*(k-1)*...2*1*x^{0}}{ln(a)^?*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k!}{ln(a)^?*a^x}[/mm]
Was soll ich eigentlich für das Fragezeichen schreiben?
Das Fragezeichen entspricht der Anzahl der Ableitungen und müsste ja eigentlich unendlich sein, aber das kann ich doch nicht einfach hinschreiben?
Für [mm]a\leq1[/mm] konvergiert die Funktion uneigentlich, (muss ich das eigentlich begründen?), da der Grenzwert des Nenners Null ist und der Zähler ..(hier weiß ich nicht, was ich schreiben soll).
(Sagt man eigentlich nur "Die Funktion konvergiert uneigentlich" oder "Die Funktion konvergiert uneigentlich gegen unendlich"?)
Für [mm]a>1[/mm] ist der Grenzwert der Funktion 0 (muss ich das noch begründen, warum das ganze gegen Null geht?), da der Nenner gegen unendlich geht und der Zähler ... hier weiß ich wieder nicht, was ich schreiben soll.
Der Zähler besteht aus einer natürlichen Konstante..
Viele Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
"buenas noches" ist im Spanischen ein ganz üblicher Gruß zur Begrüßung; bei "gute Nacht" bin ich im Deutschen nicht so recht sicher, ob das schon gilt, auch wenn es immer häufiger wird - anfangs nur scherzhaft, inzwischen aber eben recht gebräuchlich.
> > > Hallo Reverend, schönen Valentinstag wünsche ich dir und
> > > allen anderen Helfern :)
> >
> > Danke. Es ist allerdings kein Tag, den ich irgendwie
> > begehe.
>
> Das habe ich heute bzw. gestern leider von vielen Männern
> gehört :/
Wenn der Valentinstag der einzige Grund ist, eine Liebeserklärung zu erneuern, dann ist er vollkommen unnötig. Und im übrigen ist es nach bestehenden Untersuchungen wohl auch ein Generationsproblem (für mich z.B. nur ein Werbungsprodukt; in meiner Jugend gab es diesen Tag noch gar nicht. Weder unser Reichskanzler v.Bismarck noch der spätere Reichspräsident v.Hindenburg haben sich je dazu geäußert, von anderen vermeintlichen "Führern" ganz zu schweigen). Außerdem scheinen die Affinität zu diesem Tag und der Bildungsgrad zueinander reziprok zu sein. Irgendwie hoffe ich immer noch, dass das für mich spricht...
> > Oh, das ist aber schnell nach der letzten.
>
> Ja :/
> Aber immerhin wird der Stoff so schön aufgeteilt und wir
> schreiben nicht eine ganz große Klausur.
Auch gut. In meinem Studium stand ein abschließender Prüfungstag als große Hürde da. Da musste man alles auf einmal wissen.
> > > Wie siehst du eigentlich sofort, was die äußere und was
> > > die Innere ist?
> > > Besonders wenn die Funktion mehrfach verkettet ist.
> >
> > Ich lese einfach von außen nach innen.
>
> Okay, so mache ich das ab jetzt auch :)
Reine Übungssache.
> Dann versuche ich es jetzt mal von vorne:
>
> Zu 3: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{2x}{x^4+1}}{2*sin(x)*cos(x)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{2x}{x^4+1}}{sin(2x)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{2x}{(x^4+1)*sin(2x)}[/mm]
>
> [mm]= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{2}{4x^3*sin(2x)+(x^4+1)*cos(2x)*2} = \bruch{2}{0*0+1*1*2} = \bruch{2}{2} = 1[/mm]
>
> Nun richtig? :)
Ja, alles richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Darf ich das eigentlich auch so in der Klausur machen, wenn
> die Gleichung in der nächsten Zeile weiter geht, dass ich
> einfach in der Zeile darunter ein = schreibe und
> weitermache, oder gibt es ein Zeichen spezielles Zeichen
> dafür?
Das darfst Du so machen. Noch deutlicher ist es, wenn Du in der Zeile davor mit einem Gleichheitszeichen aufhörst und die nächste Zeile trotzdem mit einem Gleichheitszeichen beginnst.
> > > > > > > Zu 4: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> >
> > > [...]
> > > Aber wie kann es sein, dass nach der 1.Ableitung der
> > > Grenzwert des Zählers für k=2 und a>1 unendlich ist und
> > > in der 2.Ableitung ist der Grenzwert des Zählers für k=2
> > > und a>1 gleich 2.
> > > Ist das nicht ein Widerspruch?
> >
> > Nein, warum?
>
> Da hatte ich einen Denkfehler. Das sind dann ja zwei
> verschiedene Funktionen, ich dachte für k=2 und a>1 muss
> sowohl bei der 1. als auch bei der 2.Ableitung der gleiche
> Grenzwert rauskommen.
Das ist bei l'Hôpital ja auch notwendigerweise so. Du hast aber nur den Zähler betrachtet, obwohl der Nenner eben auch zugleich untersucht werden muss. Dann gibt es auch keinen Widerspruch mehr.
> > Deswegen braucht man auch nur eine Fallunterscheidung a<1,
> > a=1 und a>1, wovon man die ersten beiden Fälle dann auch
> > noch zusammenfassen kann.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x}, a>0, k \in \IN[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^k}{a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{ln(a)*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*(k-1)*x^{k-2}}{ln(a)^2*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k*(k-1)*...2*1*x^{0}}{ln(a)^?*a^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{k!}{ln(a)^?*a^x}[/mm]
>
> Was soll ich eigentlich für das Fragezeichen schreiben?
Na, die Zahl der Ableitungen, also k. Damit man das nicht mit einer Potenz verwechselt, ist es üblich, die Ordnungszahl der Ableitung in Klammern zu schreiben, und bei "Operatorfunktionen" wie [mm] \ln, \sin, \arctan [/mm] etc. sogar noch vor das Funktionsargument, hier also [mm] \ln^{(k)}{(a)}.
[/mm]
> Das Fragezeichen entspricht der Anzahl der Ableitungen und
> müsste ja eigentlich unendlich sein, aber das kann ich
> doch nicht einfach hinschreiben?
Nein, es ist endlich. Denk nochmal drüber nach.
> Für [mm]a\leq1[/mm] konvergiert die Funktion uneigentlich, (muss
> ich das eigentlich begründen?),
Das kann nicht schaden.
> da der Grenzwert des
> Nenners Null ist und der Zähler ..(hier weiß ich nicht,
> was ich schreiben soll).
...und der Zähler [mm] \not=0 [/mm] ist.
> (Sagt man eigentlich nur "Die Funktion konvergiert
> uneigentlich" oder "Die Funktion konvergiert uneigentlich
> gegen unendlich"?)
Das geht beides. Die zweite Ausdrucksweise ermöglicht einem ja auch, eine uneigentliche Konvergenz gegen [mm] -\infty [/mm] anzugeben, und ist daher etwas besser.
> Für [mm]a>1[/mm] ist der Grenzwert der Funktion 0 (muss ich das
> noch begründen, warum das ganze gegen Null geht?),
Ja, unbedingt. Nämlich genauso, wie Du es versuchst:
> da der
> Nenner gegen unendlich geht und der Zähler ... hier weiß
> ich wieder nicht, was ich schreiben soll.
Der Zähler bleibt endlich. Das reicht.
> Der Zähler besteht aus einer natürlichen Konstante..
Hm. Das stimmt zwar, klingt aber irgendwie unnötig verwirrend.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Ich bin sicher nicht der einzige, der erzwungene Liebesbeweise unangenehm findet, weil sie letztlich ziemlich wertlos sind. Das gilt auch, wenn sie der allgegenwärtig um sich greifenden Proliferation unterworfen sind und zum Kennenlerntag, dem Tag des "festen Zusammenseins", der Verlobung, Heirat etc. gefordert werden. Ich finde, Liebe muss sich anders äußern und nicht einmal täglich, aber schon oft genug, dass keine Zweifel aufkommen und auch kein Hunger nach Nähe.
Wenn Du das mit mehreren Forenmitgliedern diskutieren möchtest, lohnt sich bestimmt ein Thread im Café. Ansonsten ist das Thema schon ziemlich off-topic.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Für
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} [/mm] $
hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
[mm] \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}
[/mm]
Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein. Der 2. Faktor ist ein Differenzenquotient.
Damit ist $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} [/mm] = ??? $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Do 14.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Für
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
>
> [mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}[/mm]
>
> Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein. Der 2.
> Faktor ist ein Differenzenquotient.
Ah, da muss man erstmal drauf kommen. Schicke Lösung!
> Damit ist [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = ???[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo Fred, schönen Valentinstag :)
> Für
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
>
> [mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}[/mm]
>
> Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein.
Also der Zähler von [mm]\bruch{x^2}{sin^2x}[/mm] geht gegen Null und der Nenner auch.
> Der 2. Faktor ist ein Differenzenquotient.
Und für den zweiten Faktor gilt meiner Meinung nach das gleiche, wie für den ersten?
> Damit ist [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = ???[/mm]
Also der Grenzwert existiert nicht?
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> Hallo Fred, schönen Valentinstag :)
Hallo Lisa,
danke Dir. Aber so schön war das heute nicht, denn meine Frau liegt im Krankenhaus mit einem Bänderriss und einem Knochenbruch.
>
> > Für
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
> >
> > hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
> >
> > [mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}[/mm]
>
> >
> > Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein.
>
> Also der Zähler von [mm]\bruch{x^2}{sin^2x}[/mm] geht gegen Null
> und der Nenner auch.
Kennst Du das: [mm] \bruch{sin(x)}{x} \to [/mm] 1 für x [mm] \to [/mm] 0 ?
>
>
> > Der 2. Faktor ist ein Differenzenquotient.
>
> Und für den zweiten Faktor gilt meiner Meinung nach das
> gleiche, wie für den ersten?
Der 2. Faktor strebt gegen arctan'(0) !!!
Gruß FRED
>
> > Damit ist [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x} = ???[/mm]
>
> Also der Grenzwert existiert nicht?
>
> Gruß,
> Lisa
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> >
> > Hallo Fred, schönen Valentinstag :)
>
> Hallo Lisa,
>
> danke Dir. Aber so schön war das heute nicht, denn meine
> Frau liegt im Krankenhaus mit einem Bänderriss und einem
> Knochenbruch.
Oh Schreck, das tut mir sehr Leid. Ich wünsche ihr alles Gute und schnelle Genesung!
> > > Für
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
> >
> >
> > > hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
> > >
> > > [mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein.
> >
> > Also der Zähler von [mm]\bruch{x^2}{sin^2x}[/mm] geht gegen Null
> > und der Nenner auch.
>
> Kennst Du das: [mm]\bruch{sin(x)}{x} \to[/mm] 1 für x [mm]\to[/mm] 0 ?
Also ich weiß es nur, wenn ich l'Hospital anwende.
Aber eigentlich wollten wir das ganze ja ohne l'H machen.
> > > Der 2. Faktor ist ein Differenzenquotient.
> >
> > Und für den zweiten Faktor gilt meiner Meinung nach das
> > gleiche, wie für den ersten?
>
> Der 2. Faktor strebt gegen arctan'(0) !!!
Hm, leider weiß ich hier nicht warum gerade gegen arctan'(0)..
Liebe Grüße an dich und deine Frau :)
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Hallo Lisa,
> > danke Dir. Aber so schön war das heute nicht, denn meine
> > Frau liegt im Krankenhaus mit einem Bänderriss und einem
> > Knochenbruch.
>
> Oh Schreck, das tut mir sehr Leid. Ich wünsche ihr alles
> Gute und schnelle Genesung!
Dem schließe ich mich an!
>
> > > > Für
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
> > > >
> > > > [mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein.
> > >
> > > Also der Zähler von [mm]\bruch{x^2}{sin^2x}[/mm] geht gegen Null
> > > und der Nenner auch.
> >
> > Kennst Du das: [mm]\bruch{sin(x)}{x} \to[/mm] 1 für x [mm]\to[/mm] 0 ?
>
> Also ich weiß es nur, wenn ich l'Hospital anwende.
> Aber eigentlich wollten wir das ganze ja ohne l'H machen.
Immer wieder der Trick mit dem Differenzenquotienten:
[mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)[/mm]
> > Der 2. Faktor strebt gegen arctan'(0) !!!
>
> Hm, leider weiß ich hier nicht warum gerade gegen
> arctan'(0)..
Na, wie ist denn die Ableitung definiert? Als Limes des Differenenquotienten ... hier an der Stelle [mm]x_0=0[/mm]
>
> Liebe Grüße an dich und deine Frau :)
Auch dem schließe ich mich an!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Lisa,
>
>
>
> > > danke Dir. Aber so schön war das heute nicht, denn meine
> > > Frau liegt im Krankenhaus mit einem Bänderriss und einem
> > > Knochenbruch.
> >
> > Oh Schreck, das tut mir sehr Leid. Ich wünsche ihr alles
> > Gute und schnelle Genesung!
>
> Dem schließe ich mich an!
Hallo schachu,
auch Dir ein Dankeschön.
Grüße Fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Fr 15.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Gute Nacht schachuzipus :)
Danke für deine Antwort ![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]")
> > > Kennst Du das: [mm]\bruch{sin(x)}{x} \to[/mm] 1 für x [mm]\to[/mm] 0 ?
> >
> > Also ich weiß es nur, wenn ich l'Hospital anwende.
> > Aber eigentlich wollten wir das ganze ja ohne l'H machen.
>
> Immer wieder der Trick mit dem Differenzenquotienten:
>
> [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)[/mm]
>
Ah okay, jetzt habe ich's (glaube ich) verstanden.
[mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0) = cos(0) = 1[/mm]
> > > Der 2. Faktor strebt gegen arctan'(0) !!!
> >
> > Hm, leider weiß ich hier nicht warum gerade gegen
> > arctan'(0)..
>
> Na, wie ist denn die Ableitung definiert? Als Limes des
> Differenenquotienten ... hier an der Stelle [mm]x_0=0[/mm]
[mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}\cdot{} \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}\cdot{} \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0} [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0} = arctan'(0) =\ \bruch{1}{0+1} = \bruch{1}{1} = 1[/mm]
Also ist der Grenzwert der zu untersuchenden Funktion 1.
Viele Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > Hallo Fred, schönen Valentinstag :)
> >
> > Hallo Lisa,
> >
> > danke Dir. Aber so schön war das heute nicht, denn meine
> > Frau liegt im Krankenhaus mit einem Bänderriss und einem
> > Knochenbruch.
>
> Oh Schreck, das tut mir sehr Leid. Ich wünsche ihr alles
> Gute und schnelle Genesung!
>
> > > > Für
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > hätte ich noch einen Vorschlag (ohne l' Hospital):
> > > >
> > > > [mm]\bruch{arctan(x^2)}{sin^2x}= \bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)}{x^2}=\bruch{x^2}{sin^2x}* \bruch{arctan(x^2)-arctan(0)}{x^2-0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Der Grenzwert des 1. Faktors dürfte bekannt sein.
> > >
> > > Also der Zähler von [mm]\bruch{x^2}{sin^2x}[/mm] geht gegen Null
> > > und der Nenner auch.
> >
> > Kennst Du das: [mm]\bruch{sin(x)}{x} \to[/mm] 1 für x [mm]\to[/mm] 0 ?
>
> Also ich weiß es nur, wenn ich l'Hospital anwende.
> Aber eigentlich wollten wir das ganze ja ohne l'H machen.
>
> > > > Der 2. Faktor ist ein Differenzenquotient.
> > >
> > > Und für den zweiten Faktor gilt meiner Meinung nach das
> > > gleiche, wie für den ersten?
> >
> > Der 2. Faktor strebt gegen arctan'(0) !!!
>
> Hm, leider weiß ich hier nicht warum gerade gegen
> arctan'(0)..
>
> Liebe Grüße an dich und deine Frau :)
Lisa,
herzlichen Dank. Ich werde die Grüße auch an meine Frau Gemahlin ausrichten.
Gruß FRED
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