Grenzwert beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] $a\in\mathbb{R}$. [/mm] Beweise, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0$.
[/mm]
Benutzen Sie anschließend dieses Resultat um zu beweisen, dass die Folge [mm] $(b_n)$ [/mm] mit [mm] $b_n=\sqrt[n]{n!}$ [/mm] divergiert. |
Hallo und einen schönen Sonntag,
ich habe Schwierigkeiten, diese Aufgabe zu lösen.
Wie kann ich zeigen, dass [mm] $\frac{a^n}{n!}\to [/mm] 0$?
Ein Tipp wäre klasse.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 So 14.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo sick_of_math,
benutze doch die Stirling'sche Formel:
[mm] \forall n\in\IN:
[/mm]
[mm] \sqrt{2\pi n}\cdot(\frac{n}{e})^n\cdot e^{\frac{1}{12n+1}}
Ferner gilt: [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot(\frac{n}{e})^n}=1.
[/mm]
Damit kannst du eine entsprechend gute Abschätzung durchführen.
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 14.09.2014 | | Autor: | hippias |
Ladons Tip ist sehr gut. Aber solltest Du die Stirling'sche Formel nicht anwenden wollen, so koennte auch folgende Beobachtung helfen: [mm] $a^{n}$ [/mm] ist ein Produkt von $n$ Faktoren und ebenso $n!$. Wenn $n>a$ ist, dann tauchen in $n!$ Faktoren auf, die groesser als $a$ sind. Damit laesst sich der Quotient ganz gut so abschaetzen, dass man die Behauptung erkennt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 14.09.2014 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]a\in\mathbb{R}[/mm]. Beweise, dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/mm].
>
> Benutzen Sie anschließend dieses Resultat um zu beweisen,
> dass die Folge [mm](b_n)[/mm] mit [mm]b_n=\sqrt[n]{n!}[/mm] divergiert.
> Hallo und einen schönen Sonntag,
>
> ich habe Schwierigkeiten, diese Aufgabe zu lösen.
>
> Wie kann ich zeigen, dass [mm]\frac{a^n}{n!}\to 0[/mm]?
Hallo,
[mm]\frac{a^n}{n!}=\frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{n}[/mm]
Die Beträge der verwendeten Faktoren werden von vorn nach hinten immer kleiner, und für n gegen unendlich geht der Bruch [mm]\frac{a}{n}[/mm] gegen Null.
Je nach verwendetem a ist eine gewisse Anzahl von Faktoren anfangs größer als 1, aber diese Anzahl ist endlich (und somit ist das Produkt aller Faktoren, die noch größer als 1 sind, beschränkt.
Irgendwann kommen nur noch Faktoren, die kleiner als 1 sind, also sinkt die Folge der Produkte dann (und geht letztendlich gegen Null).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mo 15.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Für a=0 ist die Sache klar. Sei also a [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] a_n:= \frac{a^n}{n!}.
[/mm]
Zeige:
1. [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}= \bruch{a}{n+1}.
[/mm]
2. Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le \bruch{1}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
3. [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]a\in\mathbb{R}[/mm]. Beweise, dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/mm].
sehr einfach: die Reihe
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}$
[/mm]
konvergiert. Daraus folgt die Behauptung wegen des Trivialkriteriums.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mo 15.09.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> > Sei [mm]a\in\mathbb{R}[/mm]. Beweise, dass
> > [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/mm].
>
> sehr einfach: die Reihe
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}[/mm]
>
> konvergiert.
PS: Das ist mit dem Quotientenkriterium leicht zu zeigen.
Grüße
reverend
> Daraus folgt die Behauptung wegen des
> Trivialkriteriums.
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > > Sei [mm]a\in\mathbb{R}[/mm]. Beweise, dass
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/mm].
> >
> > sehr einfach: die Reihe
> >
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}[/mm]
> >
> > konvergiert.
>
> PS: Das ist mit dem Quotientenkriterium leicht zu zeigen.
richtig. Aber wer
[mm] $\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ [/mm] ($z [mm] \in \IC$)
[/mm]
kennt, der weiß das eh. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]a\in\mathbb{R}[/mm]. Beweise, dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/mm].
noch eine Möglichkeit:
Wegen
[mm] $|a^n|=|a|^n$
[/mm]
und weil die Behauptung für [mm] $a=0\,$ [/mm] klar ist, können wir o.E. $a > [mm] 0\,$ [/mm] annehmen.
Dann gilt
[mm] $\ln \frac{a^n}{n!}=\ln(a^n)-\ln(n!)=n*\ln(a)-\sum_{k=1}^n \ln(k)=\sum_{k=1}^n (\ln(a)-\ln(k))\,.$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $\ln \frac{a^n}{n!} \to -\infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,,$
[/mm]
was
$0 < [mm] a^n/n! \to [/mm] 0$ (beachte, dass o.E. $a > [mm] 0\,$ [/mm] angenommen wurde)
zur Folge hat.
Das Ganze ähnelt natürlich dem Vorgehen mit dem Produkt, wo man Dir
auch schon Tipps für gegeben hat.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]a\in\mathbb{R}[/mm]. Beweise, dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/mm].
>
> Benutzen Sie anschließend dieses Resultat um zu beweisen,
> dass die Folge [mm](b_n)[/mm] mit [mm]b_n=\sqrt[n]{n!}[/mm] divergiert.
angenommen, es würde doch gelten
[mm] $b_n \to b\,.$ [/mm]
1. Der Fall $b [mm] \ge [/mm] 0$ kommt nicht in Frage:
Andernfalls gilt sicherlich
[mm] $b_n [/mm] < b+1$ für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,.$
[/mm]
Dies hat
[mm] $\frac{b+1}{b_n} [/mm] > 1$ für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,$
[/mm]
zur Folge. Was folgt dann für
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{b+1}{b_n}\right)^n$? [/mm]
Passt das noch zu der vorher bewiesenen Aussage?
2. Der Fall $b < [mm] 0\,$ [/mm] kann aber, da durchweg [mm] $b_n \textbf{\red{ ? }}\,0$ [/mm] (ersetze das rote
Fragezeichen passend!) gilt, nicht eintreten.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
